روش حل معادلات لگاریتمی
معادلات لگاریتمی
برای حل معادلات لگاريتمي کافی است مراحل زﻳﺮ را انجام دﻫﻴﺪ .
1) تمام مبناهاي لگاريتم های معادله را توسط فرمولهای لگاريتم يکسان کنيد .
2)طرفين معادله را بر اساس عبارتی از ﻳﻚ لگاريتم نماﻳﺶ دﻫﻴﺪ .
3) با حذف لگاريتم از طرﻓﻴﻦ معادله و حل معادله جبری x را بدست می آوریم.
4) مقدار x بدست آمده باید در دامنه تابع لگاریتمی باشد در غیر اینصورت جوای قابل قبول نیست.
بطور عمومی و کلی ما برای حل معادلات لگاریتمی با سه حالت زیر مواجه می شویم .
حالت اول : معادلاتی به شکل [math] \log _a^{f(x)} = b \leftrightarrow f(x) = {a^b}[/math]
در این حالت دقت کنید که a باید بزرگتر از یک باشد . این حالت ساده ترین حالت یک معادله لگاریتمی است که می توان براحتی با استفاده از تبدیل آن به عددی توان دار (مطابق فرمول لگاریتم) آن را حل کرد.
مثال : معادله [math] \log _2^{(x + 2)} = 5[/math] را حل کنید .
[math]\log _2^{(x + 2)} = 5 \\ x + 2 = {2^5} \to x = {2^5} – 2 = 30 [/math]
حالت دوم : معادلاتی به شکل [math] \log _{h(x)}^{f(x)} = \log _{h(x)}^{g(x)}[/math] که در اینجا ما دو حالت داریم یکبار [math]h(x)[/math] یک تابع است و یکبار ممکن است یک عدد باشد .در هر صورت داریم:
[math]\log _{h(x)}^{f(x)} = \log _{h(x)}^{g(x)} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} f(x) = g(x) \\ f(x) > ,g(x) > 0 \\ h(x) > 0,h(x) \ne 1 \\ \end{array} \right\} \\[/math]
حالت دوم می تواند بصورت حالت خاص زیر هم باشد
[math] log _a^{f(x)} = \log _a^{g(x)} \Rightarrow f(x) = g(x)[/math]
مثال: معادله [math] \log _{x + 1}^{{x^2} – 1} = \log _{x + 1}^{5 – x}[/math] را حل کنید
[math]\log _{x + 1}^{{x^2} – 1} = \log _{x + 1}^{5 – x} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^2} – 1 = 5 – x \\ {x^2} – 1 > 0 \\ 5 – x > 0 \\ x + 1 > 0 \\ x + 1 \ne 1 \\ \end{array} \right\} \\[/math]
اکنون معادلات بالا را به تفکیک به صورت زیر حل می کنیم تا جواب ما بدست آید
[math]{x^2} – 1 = 5 – x \to {x^2} + x – 6 = 0 \to (x + 3)(x – 2) = 0 \to \left\{ \begin{array}{l} x = 2 \\ x = – 3 \\ \end{array} \right\} \\[/math]
در اینجا جواب [math]x=-3[/math] غیر قابل قبول است چون در شرط [math]x+1>0[/math] صدق نمی کند
حالت سوم :معادلاتی که با استفاده از قاوانین لگاریتم به یکی از حالتهای 1 و با 2 تبدیل می شوند .
مثال : معادله [math]log(x+2)+log(x-1)=1[/math] را حل کنید .
از خصوصیات لگاریتم می دانیم که :
[math]loga+logb=logab[/math]
پس خواهیم داشت که :
[math]\log (x + 2) + \log (x – 1) = 1 \\ \log [(x + 2)(x – 1)] = 1[/math]
و چون در لگاریتم بالا مبنا نوشته نشده پس بطور پیش فرض مبنای آن را 10 در نظر می گیریم . حالا می دانیم که لگاریتم عدد 10 در مبنای عدد 10 برابر با یک است پس در معادله ما بجای عدد یک ، لگاریتم 10 در مبنای 10 قرار می دهیم .
[math]\log [(x + 2)(x – 1)] = 1 \\ \log [(x + 2)(x – 1)] = \log 10 \\ (x + 2)(x – 1) = 10 \\ {x^2} + x – 2 = 10 \to {x^2} + x – 12 = 0 \\ (x + 4)(x – 3) = 0 \to \left\{ \begin{array}{l} x = – 4 \\ x = 3 \\ \end{array} \right\} \\[/math]
در اینجا [math]x=-4[/math] قابل قبول نیست چون اگر در معادله اول لگاریتم قرار دهیم لگاریتم را منفی می کند پس غیر قابل قبول است اما [math]x=3[/math] قاب قبول است.
سوالات امتحانی لگاریتم با پاسخ تشریحی ، منتخبی از سوالات امتحانی مدارس برتر کشور
1-حاصل لگاریتم [math] {\log _4}{\log _3}\log _2^x = 0[/math] را حساب کنید ؟
2-اگر[math] \log _x^3 + \log _x^{(2x + 9)} = 2[/math] باشد ، مقدار [math] \log _9^x[/math] چیست ؟
3-معادله [math] {\log _2}(\log _2^x) = 1[/math] را حل کنید .
4-معادله لگاریتمی [math] \log _2^{{x^2}} = {(\log _2^x)^2}[/math] را حل کنید .
5-معادله لگاریتمی [math] \log _2^{(5x + 1)} + \log _2^x = 2[/math] را حل کنید .
6-معادله لگاریتمی [math] \log _5^{{{(2x – 1)}^{\log 3}}} + \log _5^{{{(x + 1)}^{\log 3}}} = \log 2[/math] را حل کنید.
7-در معادله [math] {(\log _5^{20})^2} = {(\log _5^4)^2} + \log _5^x[/math] مقدار [math]x[/math] را بیابید؟
8-اگر [math] \log _{10}^{({x^2} – 1)} = \log _{10}^{x – 1} + 2\log _{10}^3[/math] ، انگاه [math] \log _2^x[/math] را بیابید .
9-ریشه های معادله [math] \log _{x + 4}^{({x^2} – 1)} = 2\log _{{{(x + 4)}^2}}^{(5 – x)}[/math] را بدست آورید .
برای دیدن پاسخ سوالات اینجا را کلیک کنید
تشکر بسیار زیاد کمک م کرد میخواهم بیشتر بدانم
عالی بود..تشکر به خاطرشیوه ارائه مطالب با زیبایی هر چه تمامتر.
ممنون از لطفتون
خیلی عالی بود . تشکر از لطفتون
خیلی کمک کرد، ممنونم