سوالات امتحانی لگاریتم با پاسخ تشریحی (مدارس برتر کشور)

ابتدا می دانیم که صفر برابر با لگاریتم عدد 1 در مبنای هر عددی است یعنی در معادله بالا بجای صفر می توانیم لگاریتم عدد 1 در مبنای 4 قرار دهیم .

[math] {\log _4}{\log _3}\log _2^x = \log _4^1[/math]

اکنون از خصوصیات لگاریتم داریم که اگر لگاریتم دو طرف در یک مبنا مساوی باشند آنگاه خود عبارتهای جلوی لگاریتم با هم برابر می شوند یعنی در عبارت زیر مقادیر داخل پرانتز با هم برابر هستند :

[math] {\log _4}({\log _3}\log _2^x) = \log _4^{(1)} \to {\log _3}\log _2^x = 1[/math]

اکنون دوباره به تساوی یک لگاریتم با عدد یک می رسیم که اینجا باز بجای عدد یک می توانیم لگاریتم هر عددی در مبنای همان عدد بزاریم مثلا در اینجا بجای عدد 1 لگاریتم 3 در مبنای 3 جایگزین می کنیم :

[math]{\log _3}\log _2^x = 1 \to {\log _3}\log _2^x = \log _3^3 \to \log _2^x = 3 \to {2^3} = x \\ x = 8 \\[/math]

 

با استفاده از فرمول [math]loga.b=loga+logb[/math] طرف اول تساوی را به حاصلضرب تبدیل می کنیم و با استفاده از قانون [math] \log _a^a=1[/math]  طرف دوم تساوی را بصورت زیر می نویسیم :

[math]\log _x^3 + \log _x^{(2x + 9)} = 2 \\ \log _x^{3(2x + 9)} = 2\log _x^x = \log _x^{{x^2}} \\[/math]

و از آنجاییکه دو log با هم برابرند نتیجه می شود

[math]3(2x + 9) = {x^2} \to {x^2} – 6x – 27 = 0 \\ (x + 3)(x – 9) = 0 \to \left\{ \begin{array}{l} x =  – 3 \\ x = 9 \\\end{array} \right\} \\[/math]

اما جواب x=-3  غیر قابل قبول است . چون اگر در [math] \log _x^3 + \log _x^{(2x + 9)} = 2[/math] قرار دهیم مبنای لگاریتم منفی می شود و این قابل قبول نیست .

[math] x = 9 \to \log _9^9 = 1[/math]

 

طبق تعریق لگاریتم داریم که [math]\log _b^a = c \to {b^c} = a[/math]  پس خواهیم داشت :

[math]\left\{ \begin{array}{l} {\log _2}(\log _2^x) = 1 \\ \log _b^a = c \to {b^c} = a \\ \end{array} \right\} \to \log _2^x = {2^1} \to \log _2^x = 2 \to {2^2} = x \to x = 4 \\  \\[/math]

ابتدا طرف دوم تساوی که بصورت توان است را به ضرب تبدیل می کنیم :

[math]\log _2^{{x^2}} = (\log _2^x)(\log _2^x)[/math]

طرف اول تساوی که داری x به توان 2 است نیز طبق قوانین لگاریتم [math] \log _a^{{x^n}} = n\log _a^x[/math] تبدیل می کنیم :

[math] 2\log _2^x = (\log _2^x)(\log _2^x)[/math]

اکنون هر دو عبارت لگاریتم را به یک طرف مساوی می آوریم و عبارت را مساوی صفر قرار می دهیم :

[math] 0 = (\log _2^x)(\log _2^x) – 2\log _2^x \to (\log _2^x)(\log _2^x) – 2\log _2^x = 0[/math]

از عبارت بالا براحتی می توان آن را تجزیه و از یک عامل فاکتور گرفت :

[math](\log _2^x)(\log _2^x) – 2\log _2^x = 0 \\ \log _2^x[\log _2^x – 2] = 0 \\[/math]

حالا هر کدام از عوامل معادله بالا را برابر صفر قرار می دهیم :

[math]\log _2^x[\log _2^x – 2] = 0 \\\log _2^x = 0 \to {2^0} = x \to x = 1 \\ \log _2^x – 2 = 0 \to \log _2^x = 2 \to {2^2} = x \to x = 4 \\[/math]

ابتدا می دانیم که [math] 2 = \log _2^4[/math] پس در معادله زیر جایگزین می کنیم :

[math] \log _2^{(5x + 1)} + \log _2^x = 2 = \log _2^4[/math]

از قوانین ضرب دو لگاریتم استفاده می کنیم و عبارت طرف اول را تبدیل می کنیم :

[math] \log _2^{(5x + 1)(x)} = \log _2^4[/math]

از تساوی دو لگاریتم داریم :

[math](5x + 1)x = 4 \\ 5{x^2} + x – 4 = 0 \to (5x – 4)(x + 1) = 0 \\ 5x – 4 = 0 \to x = \frac{4}{5} \\ x + 1 = 0 \to x =  – 1 \\[/math]

در اینجا جواب x=-1  غیر قابل قبول است چون لگاریتم را منفی می کند .

ابتدا با استفاده از خاصیت توانی لگاریتم [math] \log _a^{{x^n}} = n\log _a^x[/math] تبدیل می کنیم:

[math]\log _5^{{{(2x – 1)}^{\log 2}}} + \log _5^{{{(x + 1)}^{\log 2}}} = \log 2 \\ \log 2(\log _5^{(2x – 1)}) + \log 2(\log _5^{(x + 1)}) = \log 2 \\[/math]

در عبارت بالا براحتی می توانیم عبارت لگاریتم 2 را از هر دو طرف تساوی حذف کنیم :

[math] (\log _5^{(2x – 1)}) + (\log _5^{(x + 1)}) = 1[/math]

با استفاده از قانون ضرب لگاریتمها داریم که :

[math](\log _5^{(2x – 1)}) + (\log _5^{(x + 1)}) = 1 \\ \log _5^{(2x – 1)(x + 1)} = 1 \to (2x – 1)(x + 1) = {5^1} \\ 2{x^2} + x – 6 = 0 \to \left\{ \begin{array}{l} x = \frac{3}{2} \\ x =  – 2 \\ \end{array} \right\} \\[/math]

در اینجا جواب منفی 2 غیر قابل قبول است .

ابتدا معادله را بصورت زیر تفکیک می کنیم :

[math]{(\log _5^{20})^2} = {(\log _5^4)^2} + \log _5^x \\ \log _5^{20} \times \log _5^{20} = {(\log _5^4)^2} + \log _5^x \\[/math]

اکنون لگاریتم طرف اول را می توانیم ساده تر کنیم :

[math] \log _5^{20} = \log _5^{4 \times 5} = \log _5^4 + \log _5^5[/math]

پس اگر عبارت بالا در معادله جایگزین کنیم خواهیم داشت که :

[math](\log _5^4 + \log _5^5)(\log _5^4 + \log _5^5) = {(\log _5^4)^2} + \log _5^x \\ (\log _5^4 + 1)(\log _5^4 + 1) = {(\log _5^4)^2} + \log _5^x \\ {(\log _5^4)^2} + 2\log _5^4 + 1 = {(\log _5^4)^2} + \log _5^x \\ 2\log _5^4 + 1 = \log _5^x \\ \log _5^{{4^2}} + \log _5^5 = \log _5^x \to \log _x^{80} = \log _5^x \to x = 80 \\[/math]

[math]\log _{10}^{({x^2} – 1)} = \log _{10}^{x – 1} + 2\log _{10}^3 \\ \log _{10}^{({x^2} – 1)} = \log _{10}^{x – 1} + \log _{10}^9 \\ \log _{10}^{({x^2} – 1)} = \log _{10}^{9(x – 1)} \to {x^2} – 1 = 9x – 9 \\ {x^2} – 9x + 8 = 0 \to (x – 8)(x – 1) = 0 \to \left\{ \begin{array}{l} x = 8 \\ x = 1 \\ \end{array} \right\} \\[/math]

در اینجا جواب x=1  غیر قابل قبول است چون لگاریتم را صفر می کند.

ابتدا دامنه تغییرات معادله را بدست می آوریم :

[math]\left\{ \begin{array}{l} {x^2} – 1 > 0 \to x > 1ORx <  – 1 \\ 5 – x > 0 \to x < 5 \\ x + 4 > 0 \to x >  – 4 \\ x + 4 \ne 1 \to x \ne 3 \\ \end{array} \right\} \to ( – 4, – 3) \cup ( – 3, – 1) \cup (1,5) \\[/math]

از طرفی دیگر از قاونین لگاریتم [math] \log _{{a^n}}^x = \frac{1}{n}\log _a^x[/math] پس طرف دوم تساوی بصورت زیر تبدیل می شود:

[math]\left\{ \begin{array}{l} \log _{x + 4}^{({x^2} – 1)} = 2\log _{{{(x + 4)}^2}}^{(5 – x)} \\ \log _{{a^n}}^x = \frac{1}{n}\log _a^x \\ \end{array} \right\} \to \log _{x + 4}^{({x^2} – 1)} = 2 \times \frac{1}{2}\log _{x + 4}^{(5 – x)} \Rightarrow  \\ {x^2} – 1 = 5 – x \to {x^2} + x – 6 = 0 \to \left\{ \begin{array}{l} x = 2 \\ x =  – 3 \\ \end{array} \right\} \\[/math]

در اینجا x=-3 غیر قابل قبول است چون در خارج از دامنه بدست آمده است .