روش حل معادلات لگاریتمی

معادلات لگاریتمی

برای حل معادلات لگاريتمي کافی است مراحل زﻳﺮ را انجام دﻫﻴﺪ .

1) تمام مبناهاي لگاريتم های معادله را توسط فرمولهای لگاريتم  يکسان کنيد .

2)طرفين معادله را بر اساس عبارتی از ﻳﻚ  لگاريتم نماﻳﺶ دﻫﻴﺪ .

3) با حذف لگاريتم از طرﻓﻴﻦ معادله و حل معادله جبری x را بدست می آوریم.

4) مقدار x   بدست آمده باید در دامنه تابع لگاریتمی باشد در غیر اینصورت جوای قابل قبول نیست.

بطور عمومی و کلی ما برای حل معادلات لگاریتمی با سه حالت زیر مواجه می شویم .

حالت اول : معادلاتی به شکل [math] \log _a^{f(x)} = b \leftrightarrow f(x) = {a^b}[/math]

در این حالت دقت کنید که a  باید بزرگتر از یک باشد . این حالت ساده ترین حالت یک معادله لگاریتمی است که می توان براحتی با استفاده از تبدیل آن به عددی توان دار (مطابق فرمول لگاریتم) آن را حل کرد.

مثال : معادله [math] \log _2^{(x + 2)} = 5[/math]  را حل کنید .

[math]\log _2^{(x + 2)} = 5 \\ x + 2 = {2^5} \to x = {2^5} – 2 = 30 [/math]

حالت دوم : معادلاتی به شکل [math] \log _{h(x)}^{f(x)} = \log _{h(x)}^{g(x)}[/math]  که در اینجا ما دو حالت داریم یکبار [math]h(x)[/math] یک تابع است و یکبار ممکن است یک عدد باشد .در هر صورت داریم:

[math]\log _{h(x)}^{f(x)} = \log _{h(x)}^{g(x)} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} f(x) = g(x) \\ f(x) > ,g(x) > 0 \\ h(x) > 0,h(x) \ne 1 \\ \end{array} \right\} \\[/math]

حالت دوم می تواند بصورت حالت خاص زیر هم باشد

[math] log _a^{f(x)} = \log _a^{g(x)} \Rightarrow f(x) = g(x)[/math]

مثال: معادله [math] \log _{x + 1}^{{x^2} – 1} = \log _{x + 1}^{5 – x}[/math] را حل کنید

[math]\log _{x + 1}^{{x^2} – 1} = \log _{x + 1}^{5 – x} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^2} – 1 = 5 – x \\ {x^2} – 1 > 0 \\ 5 – x > 0 \\ x + 1 > 0 \\ x + 1 \ne 1 \\ \end{array} \right\} \\[/math]

اکنون معادلات بالا را به تفکیک به صورت زیر حل می کنیم تا جواب ما بدست آید

[math]{x^2} – 1 = 5 – x \to {x^2} + x – 6 = 0 \to (x + 3)(x – 2) = 0 \to \left\{ \begin{array}{l} x = 2 \\ x =  – 3 \\ \end{array} \right\} \\[/math]

در اینجا جواب [math]x=-3[/math] غیر قابل قبول است چون در شرط [math]x+1>0[/math] صدق نمی کند

 

حالت سوم :معادلاتی که با استفاده از قاوانین لگاریتم به یکی از حالتهای 1 و با 2 تبدیل می شوند .

 

مثال : معادله [math]log(x+2)+log(x-1)=1[/math]  را حل کنید .

از خصوصیات لگاریتم می دانیم که :

[math]loga+logb=logab[/math]

پس خواهیم داشت که :

[math]\log (x + 2) + \log (x – 1) = 1 \\ \log [(x + 2)(x – 1)] = 1[/math]

و چون در لگاریتم بالا مبنا نوشته نشده پس بطور پیش فرض مبنای آن را 10 در نظر می گیریم . حالا می دانیم که لگاریتم عدد 10 در مبنای عدد 10 برابر با یک است پس در معادله ما بجای عدد یک ، لگاریتم 10 در مبنای 10 قرار می دهیم .

[math]\log [(x + 2)(x – 1)] = 1 \\ \log [(x + 2)(x – 1)] = \log 10 \\ (x + 2)(x – 1) = 10 \\ {x^2} + x – 2 = 10 \to {x^2} + x – 12 = 0 \\ (x + 4)(x – 3) = 0 \to \left\{ \begin{array}{l} x =  – 4 \\ x = 3 \\ \end{array} \right\} \\[/math]

در اینجا [math]x=-4[/math] قابل قبول نیست چون اگر در معادله اول لگاریتم قرار دهیم لگاریتم را منفی می کند پس غیر قابل قبول است اما [math]x=3[/math] قاب قبول است.

 

سوالات امتحانی لگاریتم با پاسخ تشریحی ، منتخبی از سوالات امتحانی مدارس برتر کشور

1-حاصل لگاریتم [math] {\log _4}{\log _3}\log _2^x = 0[/math]  را حساب کنید ؟

2-اگر[math] \log _x^3 + \log _x^{(2x + 9)} = 2[/math] باشد ، مقدار [math] \log _9^x[/math] چیست ؟

3-معادله [math] {\log _2}(\log _2^x) = 1[/math] را حل کنید .

4-معادله لگاریتمی [math] \log _2^{{x^2}} = {(\log _2^x)^2}[/math] را حل کنید .

5-معادله لگاریتمی [math] \log _2^{(5x + 1)} + \log _2^x = 2[/math] را حل کنید .

6-معادله لگاریتمی [math] \log _5^{{{(2x – 1)}^{\log 3}}} + \log _5^{{{(x + 1)}^{\log 3}}} = \log 2[/math] را حل کنید.

7-در معادله [math] {(\log _5^{20})^2} = {(\log _5^4)^2} + \log _5^x[/math]  مقدار [math]x[/math] را بیابید؟

8-اگر [math] \log _{10}^{({x^2} – 1)} = \log _{10}^{x – 1} + 2\log _{10}^3[/math] ، انگاه  [math] \log _2^x[/math] را بیابید .

9-ریشه های معادله [math] \log _{x + 4}^{({x^2} – 1)} = 2\log _{{{(x + 4)}^2}}^{(5 – x)}[/math] را بدست آورید .

 

برای دیدن پاسخ سوالات اینجا را کلیک کنید

 

 تست های کنکور سراسری بخش لگاریتم کلیک کنید