مثلثات بخش 2-2-تبدیل درجه و رادیان به یکدیگر و حل چند مثال کاربردی
در نوشته قبل یاد گرفتیم( آموزش درجه و رادیان ) که محیط یک دایره برابر با [math] 2\pi [/math] رادیان است و نیم دور دایره(180 درجه ) برابر با [math] \pi [/math] رادیان است .الان می خواهیم رابطه ای پیدا کنیم که درجه و رادیان را به یکدیگر تبدیل کند ، می دانیم که 36 درجه معادل [math] 2\pi [/math] رادیان است .
[math] 2\pi \to 360[/math]
لذا یک درجه معادل با [math] \frac{{2\pi }}{{360}}[/math] یا [math]\frac{\pi }{{180}} [/math]رادیان می باشد .پس می توان گفت اگر اندازه یک زاویه برحسب درجه را با D نمایش دهیم و بر حسب رادیان با R نمايش دهیم آنگاه :
[math] 2\pi [/math] رادیان | 360 درجه |
R | D درجه |
با توجه به جدول بالا تناسب زیر بدست می آید :
[math] \frac{D}{{360}} = \frac{R}{{2\pi }} \Rightarrow \frac{D}{{180}} = \frac{R}{\pi }[/math]
سوال 1: زاویه 135 درجه معادل چند رادیان است ؟
[math]\left\{ \begin{array}{l}\frac{D}{{180}} = \frac{R}{\pi } \\D = 135 \\\end{array} \right\} \Rightarrow \frac{{135}}{{180}} = \frac{R}{\pi } \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}R = \frac{{135\pi }}{{180}} \\135 = 3 \times 45 \\180 = 4 \times 45 \\\end{array} \right\} \Rightarrow R = \frac{{3\pi }}{4} \\[/math]
سوال 2:زاویه منفی 270 درجه معادل چند رادیان است ؟
[math]\left\{ \begin{array}{l}\frac{D}{{180}} = \frac{R}{\pi } \\D = – 270 \\\end{array} \right\} \Rightarrow \frac{{ – 270}}{{180}} = \frac{R}{\pi } \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}R = \frac{{ – 270\pi }}{{180}} \\270 = 3 \times 90 \\180 = 2 \times 90 \\\end{array} \right\} \Rightarrow R = \frac{{ – 3\pi }}{2} \\[/math]
سوال 3:زاویه [math] \frac{\pi }{2}[/math] رادیان معادل چند درجه است ؟
[math]\left\{ \begin{array}{l}\frac{D}{{180}} = \frac{R}{\pi } \\R = \frac{\pi }{2} \\\end{array} \right\} \Rightarrow \frac{D}{{180}} = \frac{{\frac{\pi }{2}}}{\pi } \Rightarrow \pi D = \frac{\pi }{2}180 \Rightarrow D = \frac{\pi }{2} \times 180 \times \frac{1}{\pi } = 90 \\[/math]
سوال 4: :زاویه [math] \frac{9\pi }{2}[/math] رادیان معادل چند درجه است ؟
[math]\left\{ \begin{array}{l}\frac{D}{{180}} = \frac{R}{\pi } \\R = \frac{{9\pi }}{2} \\\end{array} \right\} \Rightarrow \frac{D}{{180}} = \frac{{\frac{{9\pi }}{2}}}{\pi } \Rightarrow \pi D = \frac{{9\pi }}{2}180 \Rightarrow D = \frac{{9\pi }}{2} \times 180 \times \frac{1}{\pi } = 810 \\[/math]
چند مثال کاربردی
فهمیدیم که رادیان بر اساس فرمول [math] \theta = \frac{s}{r}[/math] محاسبه می شود که S طول کمان روبروی زاویه مرکزی و rشعاع دایره بود . از این فرمول می توانیم برای محاسبه طول کمان دایره استفاده کنیم .
آموزش درجه و رادیان |
برای دایره ای به شعاع r و زاویه مرکزی [math] \theta [/math] طول کمان روبروی این زاویه از رابطه زیر بدست می آید
[math] s = \theta r[/math]
مثال : دایره به شعاع 4 سانتیمتر مطابق شکل زیر و همچنین زاویه مرکزی به اندازه 240 درجه داریم .طول کمان روبروی این زاویه را بدست آورید .
دقت کنید قبل از هر چیز زاویه مرکزی باید بر حسب رادیان باشه ، و اینجا چون زاویه بر حسب درجه داده شده ابتدا آن را به رادیان تبدیل می کنیم .
[math]\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{D}{{180}} = \frac{R}{\pi }} \\ {D = 240} \\\end{array}} \right\} \Rightarrow \frac{{240}}{{180}} = \frac{R}{\pi } \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {R = \frac{{240\pi }}{{180}}} \\ {240 = 4 \times 60} \\ {180 = 3 \times 60} \\\end{array}} \right\} \Rightarrow R = \frac{{4\pi }}{3} \\[/math]
پس اندازه زاویه بر حسب رادیان بدست آمد ، حالا براساس توضیحات و فرمولی که در بالا گفتیم طول کمان را حساب می کنیم :
[math]\left\{ \begin{array}{l}S = \theta r \\r = 4 \\\theta = \frac{{4\pi }}{3} \\\end{array} \right\} \to S = 4 \times \frac{{4\pi }}{3} = \frac{{16\pi }}{3} \\\\[/math]
مساحت قطاعی از دایره
یکی دیگر از کاربردهای رادیان در محاسبه مساحت قطاع دایره است ،می دانیم که مساحت دایره به شعاع R برابر با [math] \pi {R^2}[/math] لذا مساحت قطاع با زاویه مرکزی [math] 2\pi [/math] رادیان برابر [math] \pi {R^2}[/math] است . ب استفاده از تناسب می توانیم مساحت قطاع دایره با زاویه مرکزی [math] \theta [/math] را بدست آوریم اینجا مساحت قطاع دایره را با S نمایش می دهیم :
360 درجه [math] 2\pi [/math] رادیان | مساحت دایره |
زاویه [math] \theta [/math] | مساحت قطاع دایره |
[math]\frac{{\pi {R^2}}}{S} = \frac{{2\pi }}{\theta } \Rightarrow S = \frac{1}{2}{R^2}\theta[/math]
مثال : در دایره ای به شعاع 4 مساحت قطاعی که زاویه مرکزی آن برابر [math] \frac{\pi }{3}[/math] رادیان باشد را بدست آورید ؟
[math]\left\{ \begin{array}{l}S = \frac{1}{2}{R^2}\theta \\R = 4 \\\theta = \frac{\pi }{3} \\\end{array} \right\} \to S = \frac{1}{2} \times 16 \times \frac{\pi }{3} = \frac{{8\pi }}{3} \\[/math]