رفع ابهام حد –گویا کردن رادیکالها (ضرب در مزدوج)
حالتهای مبهم و رفع ابهام آنها-روش تجزیه کسرها
هر گاه در یک حد مبهم به صورت [math] \frac{0}{0}[/math]در صورت یا مخرج و یا هر دو (صورت و مخرج) رادیکال موجود باشد .ابتدا باید عبارت رادیکالی را گویا کنیم ، که این کار معمولا با استفاده از اتحاد مزدوج و یا اتحادهای زیر انجام می شود.
[math]1)(a – b)(a + b) = {a^2} – {b^2} \\ 2)(a – b)({a^2} + ab + {b^2}) = {a^3} – {b^3} \\ 3)(a + b)({a^2} – ab + {b^2}) = {a^3} + {b^3} \\[/math]
نکته : در صورتی که فرجه رادیکال برابر 2 باشد و یا کلا زوج باشد معمولا از اتحاد مزدوج استفاده می کنیم ، اما اگر فرجه رادیکال 3 باشد از اتحادهای چاق ولاغر (شماره 2 و3 ذکر شده در بالا) استفاده می کنیم.
مثال حدود توابع زیر را محاسبه کنید.
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{\sqrt x – 2}}{{4 – x}}[/math]
جواب: با جایگذاری عدد 4 به جای متغیر x در بالا به ابهام صفر تقسیم بر صفر می رسیم لذا با استفاده از اتحاد مزدوج و گویا کردن کسر مورد نظرمان را گویا می کنیم.در مزدوج صورت ضرب و تقسیم می کنیم :
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{\sqrt x – 2}}{{4 – x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{\sqrt x – 2}}{{4 – x}} \times \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{x – 4}}{{4 – x}} \times \frac{1}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{ – 1}}{4}[/math]
[math]2)\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt x – 1}}{{\sqrt {x – 1} }}[/math]
جواب : در اینجا هم صورت و هم مخرج رادیکال داره اما ما ابتدا صورت کسر را گویا می کنیم و برای اینکار در مزدوج صورت ضرب و تقسیم می کنیم :
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt x – 1}}{{\sqrt {x – 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt x – 1}}{{\sqrt {x – 1} }} \times \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x – 1}}{{\sqrt {x – 1} (\sqrt x + 1)}}[/math]
اکنون در صورت کسر می توانیم به جای [math]x-1[/math] عبارت زیر را بنویسیم:
[math] (x – 1) = {(\sqrt {x – 1} )^2}[/math]
اکنو در کسرمان خواهیم داشت که :
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x – 1}}{{\sqrt {x – 1} (\sqrt x + 1)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{{(\sqrt {x – 1} )}^2}}}{{\sqrt {x – 1} (\sqrt x + 1)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {x – 1} }}{{\sqrt x + 1}} = \frac{0}{2} = 0[/math]
[math]3)\mathop {\lim }\limits_{x \to 8} \frac{{\sqrt[3]{x} – 2}}{{x – 8}}[/math]
جواب : اینجا چون فرجه 3 هست پس از اتحاد چاق و لاغر استفاده می کنیم .
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 8} \frac{{\sqrt[3]{x} – 2}}{{x – 8}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 8} \frac{{\sqrt[3]{x} – 2}}{{x – 8}} \times \frac{{{{(\sqrt[3]{x})}^2} + 2\sqrt[3]{x} + 4}}{{{{(\sqrt[3]{x})}^2} + 2\sqrt[3]{x} + 4}} = \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to 8} \frac{{{{(\sqrt[3]{x})}^3} – {2^3}}}{{x – 8}} \times \frac{1}{{{{(\sqrt[3]{x})}^2} + 2\sqrt[3]{x} + 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 8} \frac{{x – 8}}{{x – 8}} \times \frac{1}{{{{(\sqrt[3]{x})}^2} + 2\sqrt[3]{x} + 4}} = \frac{1}{{4 + 4 + 4}} = \frac{1}{{12}} \\[/math]
در تمرینات زیر حد را محاسبه و رفع ابهام کنید.
[math] \mathop {1)\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^{20}} – 1}}{{{x^{10}} – 1}} = ?[/math]
[math]\mathop {2)\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt[3]{x} – 1}}{{x – 1}} = ?[/math]
[math]\mathop {3)\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{\sqrt {1 + 6x} – 5}}{{\sqrt x – 2}} = ?[/math]
[math]4)\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x) – 1}}{x} = ?[/math]
5-اگر [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + 2x – 3}}{{ax + b}} = – 2[/math]حاصل a+b را بدست آورید ؟
خوب
اگر میشه ساده کردن هارا توضیح بیشتری بدهید
مفيد و كارا … سپاس
با سلام ، واقعا مفید بود دسسسسسسسسستتووووووووووون درد نکنه
awwwwliiiiii booood kheyli mamnon
سپاس