تمرینات حل شده رفع ابهام حد ، بخش 1
قبل از مطالع تمرینها توضیحات مقدماتی آن و روش حل را مطالعه کنید
حالتهای مبهم حد و رفع ابهام حد آنها -روش تجزیه کسرها
گویا کردن رادیکالها(ضرب در مزدوج)
در تمرینات زیر حد را محاسبه و رفع ابهام کنید.
[math] \mathop {1)\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^{20}} – 1}}{{{x^{10}} – 1}} = ?[/math]
جواب : در حد فوق مشخص است که با جایگذاری عدد یک به جای متغیر x حاصل حد ما صفر تقسیم بر صفر خواهد شد و مبهم است پس باید رفع ابهام کنیم.
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^{20}} – 1}}{{{x^{10}} – 1}} = \frac{0}{0} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{{({x^{10}})}^2} – 1}}{{{x^{10}} – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{({x^{10}} – 1)({x^{10}} + 1)}}{{{x^{10}} – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} ({x^{10}} + 1) \\= {1^{10}} + 1 = 2[/math]
[math]\mathop {2)\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt[3]{x} – 1}}{{x – 1}} = ?[/math]
جواب حد مبهم است و باید رفع ابهام شود .
برای محاسبه این حد از روابز و اتحادهای(اتحاد چاق و لاغر) زیر استفاده می کنیم تا این حد رفع ابهام شود .برای اینکار می توانیم در مخرج رابطه زیر را جایگذاری کنیم.
[math] x – 1 = {(\sqrt[3]{x})^3} – {1^3} = (\sqrt[3]{x} – 1)(\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{x} + 1)[/math]
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt[3]{x} – 1}}{{x – 1}} = \frac{0}{0} \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt[3]{x} – 1}}{{(\sqrt[3]{x} – 1)(\sqrt[3]{{{x^2} + \sqrt[3]{x} + 1)}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{(\sqrt[3]{{{x^2} + \sqrt[3]{x} + 1)}}}} = \frac{1}{{(\sqrt[3]{{1 + \sqrt[3]{1} + 1)}}}} = \frac{1}{3} \\[/math]
[math]\mathop {3)\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{\sqrt {1 + 6x} – 5}}{{\sqrt x – 2}} = ?[/math]
جواب :
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{\sqrt {1 + 6x} – 5}}{{\sqrt x – 2}} = \frac{{\sqrt {1 + 24} – 5}}{{\sqrt 4 – 2}} = \frac{0}{0}[/math]
حد مبهم است ونیاز به رفع ابهام دارد .برای اینکار در مزدوج صورت و مخرج همزمان ضرب می کنیم تا عامل صفر کننده حذف شود.
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{\sqrt {1 + 6x} – 5}}{{\sqrt x – 2}} = \frac{0}{0} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{(\sqrt {1 + 6x} – 5)(\sqrt {1 + 6x} + 5)}}{{(\sqrt x – 2)(\sqrt x + 2)(\sqrt {1 + 6x} + 5)}} = \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{(1 + 6x – 25)(\sqrt x + 2)}}{{(\sqrt {1 + 6x} + 5)(x – 4)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{6(x – 4)(\sqrt x + 2)}}{{(\sqrt {1 + 6x} + 5)(x – 4)}} = 6\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt {1 + 6x} + 5}} = \\ 6.\frac{{\sqrt 4 + 2}}{{\sqrt {25} + 5}} = 6 \times \frac{4}{{10}} = \frac{{12}}{5} \\[/math]
[math]4)\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x) – 1}}{x} = ?[/math]
جواب : حاصل حد به صورت صفر تقسیم بر صفر است ، لذا برای بدست آوردن حد باید آن را ساده کنیم تا رفع ابهام شود.
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x) – 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{(1 + x)(1 + 5x + 6{x^2}) – 1}}{x} \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 + 5x + 6{x^2} + x + 5{x^2} + 6{x^3} – 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{6{x^3} + 11{x^2} + 6x}}{x} \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 6{x^2} + 11x + 6 = 0 + 0 + 6 = 6 \\[/math]
5-اگر [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + 2x – 3}}{{ax + b}} = – 2[/math]حاصل a+b را بدست آورید ؟
جواب :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + 2x – 3}}{{ax + b}} = \frac{{1 + 2 – 3}}{{a + b}} = \frac{0}{{a + b}}[/math]
چون حاصل[/math] [math] \frac{0}{{a + b}} باید برابر منفی 2 باشد ، خوی اینجا صورت کسر ما صفر است پس امکان ندارد که [/math] [math] \frac{0}{{a + b}} برابر منفی 2 شود ، پس تنها یک راه وجود دارد و آن هم حد ما اینجا باید مبهم باشد یعنی حاصل آن[/math][math] \frac{0}{0} ، پس آن را باید رفع ابهام کنیم :
[math]a + b = 0 \to b = – a \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + 2x – 3}}{{ax + b}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{(x – 1)(x + 3)}}{{ax – a}} \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{(x – 1)(x + 3)}}{{a(x – 1)}} = \frac{4}{a} = – 2 \\ a = – 2 \to b = 2 \\ a – b = – 2 – 2 = – 4 \\[/math]
.عالیه