حالتهای مبهم حد و رفع ابهام آنها-روش تجزیه و تغییر متغیر

حالتهای مبهم حد و رفع ابهام آنها در مطلب قبلی گفتیم که ما برخی مواقع در محاسبه حد به مقادیری میرسیم که به آنها مبهم می گویند (حالتهای مبهم حد)،در این نوشته می خواهیم در مورد رفع ابهام آنها و نحوه محاسبه حد صحبت کنیم ، برای اینکار یک یک حالتهای مبهم را بررسی می کنیم و برای رفع ابهام آنها راهکاری را پیشنهاد می کنیم . حالت اول حالت [math] \frac{0}{0}[/math] این حالت از عبارتهای کسری حاصل می شود که برای رفع ابهام آن از روشهای زیر استفاده می کنیم :

الف-روش تجزیه (حذف عامل مبهم یا به تعبیری حذف عامل صفر کننده)

ب-ضرب در مزدوج البته این حالت برای زمانی است که کسر ما دارای رادیکال باشد)

ج-استفاده از هم ارزی

د-قاعده هوپیتال

الف –روش تجزیه صورت و مخرج :هر گاه صورت و مخرج کسر ما چند جمله ای باشند ، و

[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = \frac{0}{0}[/math]

در صورتی که صورت و مخرج کسر تجزیه پذیر باشد ، با تقسیم صورت و مخرج بر عامل صفر کننده می توان حد را رفع ابهام کرددر این حالت برای حذف عامل [math]x-a[/math] یا هر عاملی که صورت و مخرج را صفر می کند به یکی از صورتهای زیر عمل می کنیم : 1-استفاده از اتحادهای جبری :

[math]1){a^2} – {b^2} = (a – b)(a + b) \\ 2){a^3} – {b^3} = (a – b)({a^2} + ab + {b^2}) \\ 3){a^3} + {b^3} = (a + b)({a^2} – ab + {b^2}) \\ 4)(x + a)(x + b) = {x^2} + (a + b)x + ab \\ 5){(a + b)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2} \\ 6){(a + b)^3} = {a^3} + {b^3} + 3a{b^2} + 3{a^2}b \\[/math]

در واقع ما با استفاده از اتحادهای فوق می توانیم صورت و مخرج کسر را تجزیه کنیم و در نتیجه عامل صفر کننده صورت و مخرج را حذف کنیم.

تذکر : در صورتی که در تشخیص اتحادهای چند جمله ای ، به مشکل برخوردید ، بهترین روش همان تقسیم صورت و مخرج بر عامل صفر کننده یعنی [math]x-a[/math] است.

مثال 1:حاصل حد زیر را بدست آورید .(امتحان نهایی ریاضی-شهریور 91)

[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} – 2x}}{{{x^2} – 3x + 2}}[/math]

جواب :در این حد مشخص است که اکر عدد 2 را به جای متغیر قرار دهیم حاصل عبارت برابر صفر تقسیم بر صفر خواهد بود ، لذا یک عبارت مبهم است که می خواهیم با استفاده از روش تجزیه صورت و مخرج آن را رفع ابهام کنیم در اینجا برای تجزیه صورت از فاکتور گیری استفاده می کنیم و برای تجزیه مخرج از اتحاد جمله مشترک :

[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} – 2x}}{{{x^2} – 3x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x(x – 2)}}{{(x – 2)(x – 1)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{x}{{x – 1}} = \frac{2}{{2 – 1}} = \frac{2}{1} = 2 \\[/math]

مثال 2:حاصل حد زیر را بدست آورید .

[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{{(x – 1)}^5} + 2{{(x – 1)}^3}}}{{3{{(x – 1)}^4} + {{(x – 1)}^3}}}[/math]

جواب : پس از جایگذاری عدد 1 در عبارت بالا باز به حالت مبهم صفر تقسیم بر صفر می رسیم که باید رفع ابهام کنیم ، ابتدا از عبارت [math] {(x – 1)^3}[/math] فاکتور می گیریم :

[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{{(x – 1)}^5} + 2{{(x – 1)}^3}}}{{3{{(x – 1)}^4} + {{(x – 1)}^3}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{{(x – 1)}^3}({{(x – 1)}^2} + 2)}}{{{{(x – 1)}^3}(3(x – 1) + 1)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{{(x – 1)}^2} + 2}}{{3(x – 1) + 1}} = \frac{{0 + 2}}{{0 + 1}} = 2[/math]

نکته 1: اگر حد تابع ما دارای قدر مطلق باشد ، ابتدا باید عبارت داخل قدر مطلق را تعیین علامت کنیم تا قدر مطلق حذف شود و سپس با استفاده از روش های مختلف ، حد را رفع ابهام کنیم.

نکته2:اگر حد ما دارای عبارت جزء صحیح بود ، ابتدا باید مقدار جزء صحیح را در چپ یا راست [math]x=a[/math] مشخص کنیم تا عبارت جزء صحیح حذف شود و سپس با استفاده از روش های مختلف ، حد را رفع ابهام کنیم.

مثال1: حد کسر [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{|2 – x|}}{{{x^2} – x – 2}}[/math] را حساب کنید.

جواب : با جایگذاری عدد 2 در کسر بالا باز به حالت مبهم صفر تقسیم بر صفر می رسیم که باید رفع ابهام کنیم ، اما ابتدا باید تکلیف قدر مطلق را مشخص کنیم .چون اینجا وقتی x  به سمت 2 از سمت راست (حد راست)میل می کند یعنی x از 2 بزرگتر است لذا عبارت دارای قدر مطلق ما منفی می شود پس :

[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{|2 – x|}}{{{x^2} – x – 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{ – (2 – x)}}{{{x^2} – x – 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{x – 2}}{{{x^2} – x – 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{x – 2}}{{(x – 2)(x + 1)}} \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{1}{{x + 1}} = \frac{1}{{2 + 1}} = \frac{1}{3} \\[/math]

مثال2 : حد کسر [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{[x] – x}}{{{x^2} – 4}}[/math]  را حساب کنید.

جواب : با جایگذاری 2 در کسر فوق باز به حالت مبهم می رسیم و می دانیم که :

[math] x \to {2^ + } \Rightarrow [x] = 2[/math]

پس خواهیم داست که :

[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{[x] – x}}{{{x^2} – 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{2 – x}}{{{x^2} – 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{2 – x}}{{(x – 2)(x + 2)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{ – (x – 2)}}{{(x – 2)(x + 2)}} \\  = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{ – 1}}{{x + 2}} = \frac{{ – 1}}{{2 + 2}} =  – \frac{1}{4} \\[/math]

نکته :یکی از روشهای بدست آوردن حد روش تغییر متغیر است که اینجا با یک مثال توضیح می دهیم .

مثال :مقدار [math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + x} – 1}}{x}[/math] را بیابید.

ابتدا با تغییر متغیر داریم [math]t = \sqrt {1 + x}[/math] اگر x به صفر نزدیک شود ،t به عدد 1 نزدیک می شود و داریم

[math]t = \sqrt {1 + x} \to x = {t^2} – 1[/math]

[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + x} – 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 1} \frac{{t – 1}}{{{t^2} – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 1} \frac{{t – 1}}{{(t – 1)(t + 1)}} = \frac{1}{2}[/math]

قبل از حل تمرینات زیر بخش بعدی مطلب (گویا کردن رادیکالها-ضرب در مزدوج را هم مطالعه کنید)

در تمرینات زیر حد را محاسبه و رفع ابهام کنید.

[math] \mathop {1)\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^{20}} – 1}}{{{x^{10}} – 1}} = ?[/math]

[math]\mathop {2)\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt[3]{x} – 1}}{{x – 1}} = ?[/math]

[math]\mathop {3)\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{\sqrt {1 + 6x}  – 5}}{{\sqrt x  – 2}} = ?[/math]

[math]4)\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x) – 1}}{x} = ?[/math]

5-اگر  [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + 2x – 3}}{{ax + b}} =  – 2[/math]حاصل a+b را بدست آورید ؟ برای دیدن پاسخ تشریحی تمرینات کلیک کنید