مشتق توابع 7-مشتق توابع مثلثاتی
مشتق توابع مثلثاتی
ما در این بخش می خواهیم نگاهی کلی داتشه باشیم به مشتق توابع مثلثاتی sin ,cos,cot و غيره .دقت کنید که برای محاسبه مشتق توابع مثلثاتی گاهی مجبور می شویم از ترکیبی از مشتق و فرمولهای دیگر نیز استفاده کنیم .
توابع [math]f(x)=sinx,g(x)=cosx[/math] مشتق پذیر هستند و داریم :
[math] f(x) = \sin x \Rightarrow f'(x) = (\sin x)’ = \cos x\\g(x) = \cos x \Rightarrow g'(x) = (\cos x)’ = – \sin x [/math]
با استفاده از تعریف مشتق داریم :
[math] f(x) = \sin x \Rightarrow f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(x + h) – f(x)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\sin (x + h) – \sin x}}{h}\\ = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\sin x\cosh + \cos x\sinh – \sin x}}{h}\\ = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\sin x(\cosh – 1) + \cos x\sinh }}{h}\\ = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} (\sin x\frac{{\cosh – 1}}{h}) + \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} (\cos x\frac{{\sinh }}{h}) [/math]
از حسابان می دانیم که تساویهای زیر برقرار است :
[math] \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\cosh – 1}}{h} = 0\\\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\sinh }}{h} = 1 [/math]
بنابر این :
[math] f'(x) = (\sin x)(0) + (\cos x)(1)\\f'(x) = \cos x [/math]
مشابه همین روش برای تابع [math]g(x)=cosx[/math] انجام می دهیم :
[math] g(x) = \cos x \Rightarrow g'(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{g(x + h) – g(x)}}{h}\\ = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\cos (x + h) – \cos (x)}}{h}\\ = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\cos x\cosh – \sin x\sinh – \cos x}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\cos x(\cosh – 1) – \sin x\sinh }}{h}\\ = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \cos x\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{(\cosh – 1)}}{h} – \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \sin x\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\sinh }}{h}\\ = (\cos x)(0) – (\sin x)(1) = – \sin x [/math]
با استفاده از دو دستور فوق می توان مشتق بسیاری از توابع مثلثاتی را حساب کرد.
[math] {\left( {\tan x} \right)^\prime } = {\left( {\frac{{\sin x}}{{\cos x}}} \right)^\prime } = \frac{{{{\left( {\sin x} \right)}^\prime }\cos x – \sin x{{\left( {\cos x} \right)}^\prime }}}{{{{\cos }^2}x}}\\ = \frac{{\cos x.\cos x – \sin x.\left( { – \sin x} \right)}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{{{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} [/math]
همچنین مشتق تابع کتانژانت نیز به صورت زیر محاسبه می شود:
[math] {\left( {\cot x} \right)^\prime } = {\left( {\frac{1}{{\tan x}}} \right)^\prime } = – \frac{1}{{{{\tan }^2}x}}.(\tan x)’\\ = – \frac{1}{{\frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}}}.\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} = – \frac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x}} = – \frac{1}{{{{\sin }^2}x}} [/math]
همچنین تابع سکانت و کسکانت نیز به صورتهای زیر محاسبه می شوند:
[math] {\left( {\sec x} \right)^\prime } = {\left( {\frac{1}{{\cos x}}} \right)^\prime } = – \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}.{\left( {\cos x} \right)^\prime } = \frac{{\sin x}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{{\sin x}}{{\cos x}}.\frac{1}{{\cos x}} = \tan x\sec x\\\\{\left( {\csc x} \right)^\prime } = {\left( {\frac{1}{{\sin x}}} \right)^\prime } = – \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}.{\left( {\sin x} \right)^\prime } = – \frac{{\cos x}}{{{{\sin }^2}x}} = – \frac{{\cos x}}{{\sin x}}.\frac{1}{{\sin x}} = – \cot x\csc x [/math]
دامنه | مشتق |
[math] – \infty < x < \infty [/math] | [math] (\sin x)’ = \cos x [/math] |
[math] – \infty < x < \infty [/math] | [math] (\cos x)’ = – \sin x [/math] |
[math] x \ne \frac{\pi }{2} + n\pi ,n \in z [/math] | [math] (\tan x)’ = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} = {\sec ^2}x [/math] |
[math] x \ne n\pi ,n \in z [/math] | [math] (\cot x)’ = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}} = – {\csc ^2}x [/math] |
[math] x \ne \frac{\pi }{2} + n\pi ,n \in z [/math] | [math] (\sec x)’ = \tan x\sec x [/math] |
[math] x \ne n\pi ,n \in z [/math] | [math] (\csc x)’ = – \cot x\csc x [/math] |
مثال:مشتق توابع مثلثاتی زیر را بدست آورید.
[math] 1)f(x) = cos2x – 2sinx\\f’\left( x \right) = {\left( {\cos 2x – 2\sin x} \right)^\prime } = {\left( {\cos 2x} \right)^\prime } – {\left( {2\sin x} \right)^\prime }\\= \left( { – \sin 2x} \right).{\left( {2x} \right)^\prime } – 2{\left( {\sin x} \right)^\prime }\\ = – 2\sin 2x – 2\cos x = – 2\sin x\cos x – 2\cos x = – 2\cos x\left( {\sin x + 1} \right) [/math]
[math] 2)f(x) = \tan x + \frac{1}{3}{\tan ^3}x\\f’\left( x \right) = {\left( {\tan x + \frac{1}{3}{{\tan }^3}x} \right)^\prime } = {\left( {\tan x} \right)^\prime } + {\left( {\frac{1}{3}{{\tan }^3}x} \right)^\prime }\\ = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{1}{3}.3{\tan ^2}x.{\left( {\tan x} \right)^\prime }\\ = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} + {\tan ^2}x.\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{{1 + {{\tan }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} [/math]
[math] 3)f(x) = \cos x – \frac{1}{3}{\cos ^3}x\\f'(x) = {\left( {\cos x – \frac{1}{3}{{\cos }^3}x} \right)^\prime } = {\left( {\cos x} \right)^\prime } – {\left( {\frac{1}{3}{{\cos }^3}x} \right)^\prime }\\ = – \sin x – \frac{1}{3}.3{\cos ^2}x.{\left( {\cos x} \right)^\prime }\\ = – \sin x – {\cos ^2}x.\left( { – \sin x} \right) = – \sin x + {\cos ^2}x\sin x\\ = – \sin x\left( {1 – {{\cos }^2}x} \right) = – \sin x{\mkern 1mu} {\sin ^2}x = – {\sin ^3}x [/math]
[math] 4)f(x) = \frac{1}{{{{\cos }^n}x}}\\f'(x) = {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^n}x}}} \right)^\prime } = {\left[ {{{\left( {\cos x} \right)}^{ – n}}} \right]^\prime } = – n{\left( {\cos x} \right)^{ – n – 1}}\cdot{\left( {\cos x} \right)^\prime }\\ = – n{\left( {\cos x} \right)^{ – n – 1}}.\left( { – \sin x} \right) = \frac{{ – \sin x}}{{{{\cos }^{n + 1}}x}} [/math]
[math] 5)f(x) = {\cos ^2}\sin x\\f’\left( x \right) = {\left( {{{\cos }^2}\sin x} \right)^\prime } = 2\cos \sin x.{\left( {\cos \sin x} \right)^\prime }\\ = 2\cos \sin x.\left( { – \sin \sin x} \right).{\left( {\sin x} \right)^\prime }\\ = – 2\cos \sin x.\sin \sin x.\cos x [/math]
می دانیم :
[math] 2\cos \sin x.\sin \sin x = \sin (2\sin x) [/math]
پس خواهیم داشت:
[math] f'(x) = – \sin (2\sin x)\cos x [/math]
[math] 6)f(x) = {\sin ^2}\sqrt x \\f'(x) = (sin2\sqrt x )’ = 2sin\sqrt x \cdot (sin\sqrt x )\prime \\ = 2sin\sqrt x \cdot cos\sqrt x \cdot (\sqrt x )\prime = 2sin\sqrt x .cos\sqrt x \cdot \frac{1}{{2\sqrt x }} [/math]
بهار با هیچ اردیبهشتی – تابستان با هیچ شهریوری – پاییز با هیچ مهری به پای زمستان نمیرسد که اسفند دود میکند برای مهربانی ات.
سهیل ساسانی هستم. رامسری.دبیر ریاضی گیلان. دو ماهی هست که با افتخار لینکتون کردم. ممنون میشم از وبلاگم دیدن کنید و اگه قابل دونستید لینکم کنید.
تا چه نظر کنید
Thank You
khoob bod
very good
باسلام وخسته نباشید من دارم برا کنکور ارشداماده میشم مطالب شما خیلی کمکم کرد بسیار ممنونم موفق باشید
Mrs.bos bos
very good usefull