دنباله های بدون جمله عمومی
در بخشهای قبلی در مورد مفهوم دنباله ها صحبت کردیم و گفتیم که یک دنباله چیست و چه مفهومی دارد ، علاوه بر این با تصاعد حسابی و هندسی نیز آشنا شدیم که در واقع نوعی دنباله ها بود . نکته مهمی که در دنباله ها بحث کردیم اینکه ما همیشه در یک دنباله یک نظم خاصی داریم که بر اساس این نظم و ترتیب می توانیم جمله عمومی یک دنباله را بدست آوریم ، اما اینک دو سوال اساسی مطرح می شود که
1- آیا همیشه دنباله های ما دارای جمله عمومی است ؟
2-آیا جمله عمومی دنباله ما دارای یک فرم است یعنی شکل آن منحصر به فرد است؟ یا ممکن است یک دنباله دارای بیش از یک جمله عمومی باشد؟
اما قبل از هر چیز تعریف ریاضی دنباله ها را از دیدگاه ریاضی مورد بررسی قرار می دهمی و سپس به سوالات فوق پاسخ می دهیم
تعریف دنباله
یک دنباله نامتناهی ،تابعی است مانند f که دامنه این تابع اعداد طبیعی و برد این تابع یک زیر مجموعه از اعداد حقیقی است . در واقع دامنه آن که اعداد طبیعی است نشان دهنده تسلسل و ترتیب شماره جملات است . برد آن نشان دهنده خروجی هر جمله است.
و بصورت زیر نمایش می دهیم :
(f(n را با علامتهای an نمایش می دهند و ان را جمله عمومی دنباله می نامیم.
اکنون تابع بالا را بصورت تفصیلی تر مورد بررسی قرار می دهیم . همانطور که می بینید تابع f را با استفاده از جمله عمومی {an } نمایش می دهند که یک زوج مرتب بصورت زیر خواهد یود:
F={(n,a)|n N }={(1, a1),(2, a2),(…………,(n, an)}
حال از آنجایی که دامنه زوج مرتب و دنباله بالا مجموعه اعداد طبیعی است پس نیازی به نوشتن مولفه های اول زوج مرتب نداریم و می توانیم دنباله را بصورت زیر بنویسیم:
مثال : دنباله های زیر را ببینید.
نکات مهم :
1-اگر جمله عمومی دنباله ای معلوم باشد مطابق مثالهای بالا می تواند تک تک جملات را بدست آوریم
اما اکنون می رسیم به همان سوالهایی که در ابتدای بحث مطرح کردیم . آیا همیشه دنباله های ما دارای جمله عمومی است؟
جواب آن را نمی توان بصورت قطعی داد ، چرا که گاهی براحتی جمله عمومی محاسبه می شود و گاهی نمی توان جمله عمومی را بدست آورید.مثلا در دنباله زیر :
…., 1,3,9,17,21
در مثال بالا نمی توانیم جمله عمومی را پیدا کنیم چرا که اگر چه در ظاهر یک دنباله عددی است ، اما نظم واحدی میان این اعداد وجود ندارد لذا جمله عمومی این دنباله مشخص نیست . علاوه بر این معلوم بودن چند جمله اول یک دنباله برای بدست آوردن جمله عمومی کافی نیست .بلکه اون نظم و قانون مشخص باید در بین اعضای یک دنباله وجود داشته باشد تا بتوان جمله عمومی آن را بدست آورد و همچنین بتوانیم آن را در تعریف دنباله بگنجانیم . پس می توان گفت :
هر گاه ما سلسله ای از اعداد را داشته باشیم ، باید حتما و حتما نظم خاصی بین این اعضا حاکم باشد و به دنبال آن بتوانیم جمله عمومی آن را پیدا کنیم آنگاه می توان به این سلسله اعداد ، تعریف دنباله بدهیم.
اکنون فهمیدیم که هر سلسله از اعداد لزوما دارای جمله عمومی نیست و حتی ممکن است دنباله نباشد . اکنون می رسیم به سوال دوم
آیا جمله عمومی دنباله ما همیشه دارای یک حالت است ؟ یعنی ممکن است دنباله ای داشته باشیم که دارای بیش از یک فرم جمله عمومی باشد؟
یعنی جمله عمومی یک دنباله نمی تواند حتما منحصر به فرد باشد بلکه ممکن است دنباله جمله عمومی دیگری نیز داشته باشد.
بسیارخوبوقابل فهم