تصاعد یا دنباله هندسی

دنباله هندسی ، یک رشته از اعداد است که در آن هر جمله( به جز جمله اول ) از ضرب جمله قبلی در یک مقدار ثابت بدست می آید .که این مقدار ثابت را قدر نسبت می گوییم.

پس با توجه به تعریف بالا و مثال بالا اگر دقت کنید ما جملات دنباله هندسی را در حالت کلی می توانیم بصورت زیر تصور کنیم

[math] a,ar,a{r^2},a{r^3},……[/math]

که در این حالت کلی بالا

1-عدد a نشان دهنده جمله اول (تصاعد) دنباله هندسی

2-عدد r نشان دهنده قدر ثابت است که در هر عدد قبلی ضرب می شود.

 

نکته : توجه کنید که در یک دنباله هندسی r یا همان قدر نسبت ما نمی تواند عدد صفر باشد چرا که در اینصورت تمام دنباله ما صفر خواهد شد .

برای اینکه تشخیص بدهیم یک دنباله از نوع دنباله هندسی است باید ، تقسیم هر دو جمله متوالی و بغل هم را حساب کنیم در صورتی که تقسیم هر دو جمله عدد یکسان باشد آن دنباله از نوع دنباله هندسی است .

مثال:کدام یک از دنباله های زیر هندسی است ؟

[math]7,28,112,448,…[/math]

پس با توجه به تقسیمهای روبرو ، تقسیم هر دو جمله متوالی یکسان است پس این یک دنباله هندسی با قدر نسبت 4 است.

[math]\left\{ \begin{array}{l}\frac{{28}}{7} = 4 \\\frac{{112}}{{28}} = 4 \\\frac{{448}}{{112}} = 4 \\\end{array} \right\} \Rightarrow [/math]

[math] 1,3,18,…[/math]

پس با توجه به تقسیمهای روبرو ، تقسیم هر دو جمله متوالی یکسان نیست پس این یک دنباله هندسی نمی باشد

[math] \left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{1} = 3 \\\frac{{18}}{3} = 6 \\\end{array} \right\} \Rightarrow [/math]

 

[math] 2\sqrt 5 ,4\sqrt 5 ,6\sqrt 5 ,….[/math]

[math] \left\{ \begin{array}{l}\frac{{4\sqrt 5 }}{{2\sqrt 5 }} = 2 \\\frac{{6\sqrt 5 }}{{4\sqrt 5 }} = \frac{3}{2} \\\end{array} \right\} \Rightarrow [/math]

پس با توجه به تقسیمهای روبرو ، تقسیم هر دو جمله متوالی یکسان نیست پس این یک دنباله هندسی نمی باشد

[math] 5,5,5,5,……[/math]

پس با توجه به تقسیمهای روبرو ، تقسیم هر دو جمله متوالی یکسان است پس این یک دنباله هندسی با قدر نسبت 1 است.

[math] \left\{ \begin{array}{l}\frac{5}{5} = 1 \\\frac{5}{5} = 1 \\\end{array} \right\} \Rightarrow [/math]

 

جمله عمومی (تصاعد) دنباله هندسی :

اکنون پس از مقدمه ای که در بالا ذکر کردم به اینجا می رسیم که ما باید در یک دنباله هندسی در هر زمان بتوانیم جمله عمومی یا در واقع فرمی برای نمایش جمله n ام دنباله داشته باشیم . این جمله عمومی به شکل زیر است :

[math] {t_n} = {t_1}{r^{n – 1}}[/math]

همانطور که می بینید [math] {t_1}[/math] در اینجا نشان دهنده جمله اول تصاعد و r نشان دهنده قدر ثابت تصاعد هندسی است . و عدد n هم نشان دهنده شماره جمله تصاعد هندسی است.

قانون کلی (جمله عمومی):

می دانیم که جملات یک دنباله هندسی (تصاعد هندسی ) بصورت زیر است .دقت کنید در تعریف ذکر کردیم که از جمله دوم به بعد عدد ثابتی به هر جمله دنباله افزوده می شود ، پس:

جمله n ام	……	جمله چهارم	جمله سوم	جمله دوم	جمله اول
[math] { t_1}{r^{n – 1}}[/math]	……	[math]{t_1}{r^3}[/math]	[math] {t_1}{r^2}[/math]	[math] {t_1}r[/math]	[math] {t_1}[/math]

 

نکته :چون جمله اول قدر نسبت [math]r[/math] ندارد و جمله دوم یک [math]r[/math] دارد و جمله سوم [math] {r^2} [/math] دارد و به همین ترتیب هر جمله برابر شماره جمله منهای یک [math]d[/math] دارد برای همین جمله n ام یک دنباله حسابی بصورت زیر است

[math] {t_n} = {t_1}{r^{n – 1}}[/math]

مثال :آیا [math] 10,30,90,27,810,2430,…[/math] دنباله هندسی است ؟

ابتدا حاصل تقسیم دو جمله های متوالی را بدست می آوریم تا ببینیم آیا دنباله هندسی است .

[math] \frac{{30}}{{10}} = 3,\frac{{90}}{{30}} = 3,\frac{{270}}{{90}} = 3,…..[/math]

با توجه به اینکه حاصل تقسیم هر دو جمله متوالی برابر عدد 3 است پس این یک دنباله هندسی با قدر نسبت 3 و جمله اول آن عدد 10 است ، پس فرم و جمله عمومی این دنباله بصورت زیر خواهد بود .

[math]\left\{ \begin{array}{l}{t_1} = 10 \\r = 3 \\{t_n} = {t_1}{r^{n – 1}} \\\end{array} \right\} \to {t_n} = 10 \times {(3)^{n – 1}}[/math]

اکنون با داشتن جمله عمومی دنباله می توانیم براحتی بقیه جملات دنباله را حساب کنیم مثلا جمله دهم دنباله هندسی فوق بصورت زیر است:

[math] {t_n} = 10 \times {(3)^{n – 1}} \Rightarrow {t_{10}} = 10 \times {(3)^{10 – 1}} = 10 \times {3^9} = 196830[/math]

نکات و خصوصیات دنباله هندسی (تصاعد هندسی):

1-قدر نسبت یعنی همان r را می توان از تقسیم هر دو جمله متوالی دنباله هندسی بدست آورد

[math] r = \frac{{{t_n}}}{{{t_{n – 1}}}}[/math]

2-اگر [math] {t_n}[/math] و [math] {t_m}[/math] جملات n ام و m ام یک دنباله هندسی باشد ،قدر نسبت این دنباله از تقسیم زیربدست می آید :

[math] {r^{n – m}} = \frac{{{t_n}}}{{{t_m}}}[/math]

 

3-واسطه هندسی : اگر [math]a,b,c[/math] سه جمله متوالی از یک دنباله هندسی باشند آنگاه خواهیم داشت :

[math]a,b,c \Rightarrow {b^2} = ac[/math]

[math]b[/math] را واسطه هندسی [math]a,c[/math] می گوییم.

درج چند واسطه هندسی بین دو عدد:

اگر بین دو عدد a,b بخواهیم n عدد قرار دهیم که n+2 عدد با هم تشکیل یک دنباله هندسی بدهند n واسطه هندسی بین a,b درج کرده ایم :

جمله اول a و جمله آخر (n+2 ام ) b است.

قدر نسبت هم از رابطه زیر بدست می آید :

[math] {r^{n + 1}} = \frac{b}{a} [/math]

قاعده اندیس ها در دنباله هندسی :

در یک دنباله هندسی همیشه داریم که :

[math]1)m + n = p + q \Rightarrow {t_m}{t_n} = {t_p}{t_q} \\2)m – n = p – q \Rightarrow \frac{{{t_m}}}{{{t_n}}} = \frac{{{t_p}}}{{{t_q}}}[/math]

تمرینات بخش 

1-چند دنباله هندسی با قدر نسبت   [math] \frac{4}{5} [/math] می توان ساخت ؟ دو مورد را بنویسید .

2-حاصلضرب بیست جمله اول دنباله هندسی زیر را محاسبه کنید .

3-جملات سوم و ششم یک دنباله هندسی به ترتیب 12 و 96 می باشند .دنباله را مشخص کنید.

4-در یک دنباله هندسی جمله اول 3 و قدر نسبت آن 2 می باشد .جمله چندم این دنباله برابر 96 است ؟ (کنکور سراسری)

1)پنجم                2)ششم                3)هفتم                4)هشتم

5-در یک دنباله هندسی [math] {t_2}{t_4} = 2{t_5}[/math]  جمله اول کدام است ؟(کنکور سراسری ریاضی -82)

6-در یک دنباله هندسی مجموع سه جمله متوالی 19 و حاصلضرب آنها 216 می باشد. تفاضل کوچکترین و بزرگترین این سه عدد کدام است ؟ ( کنکور سراسری-تجربی -90)

1)4                   2)5                   3)6                   4)7

7-جمعیت یک روستا 1000 نفر است ،اگر جمعیت این روستا هر سال به اندازه [math] \frac{1}{{10}}[/math] جمعیت سال قبل کاهش یابد ، پس از 4 سال چند نفر در روستا  زندگی می کنند ؟(کنکور آزمایشی گزینه 2)

1)729                2)400                3)600                4)271

8-در یک دنباله هندسی با جمله عمومی [math] \frac{2}{{{3^n}}}[/math] جمله چهارم چند برابر جمله ششم است ؟(کنکور سراسری)

1)2                   2)3                   3)4                   4)9

 

پاسخ تشریحی تمرینات بالا (مخصوص کابران ویژه سایت با پرداخت حق عضویت)