جمع و تفریق عبارت های گویا
جمع و تفریق عبارت های گویا
در جمع و تفریق عبارت های گویا همانند اعداد کسری ما دو حالت داریم :
1-مخرج کسرها مساوی است :اگر مخرج کسرها برابر باشد در این حالت کافیست فقط صورت کسرها را با هم جمع یا تفریق کنیم مطابق دستور العمل زیر :
[math]\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{{a + b}}{c} \\[/math]
[math]\frac{a}{c} – \frac{b}{c} = \frac{{a – b}}{c} \\[/math]
مثال :جمع و تفریق عبارت های گویا زیر را انجام دهید :
[math]1)\frac{{{\rm{6}}x + {\rm{3}}}}{5} + \frac{{{\rm{4}}x – {\rm{1}}}}{5} = \frac{{{\rm{1}}0x + {\rm{2}}}}{5}{\rm{ }} \\[/math]
[math]{\rm{2)}}\frac{{{\rm{6}}x + {\rm{3}}}}{5} – \frac{{{\rm{4}}x – {\rm{1}}}}{5} = \frac{{{\rm{6}}x + {\rm{3}} – {\rm{4}}x + {\rm{1}}}}{5} = \frac{{{\rm{2}}x + {\rm{4}}}}{5} \\[/math]
در مثالهای بالا مشخص است که ما کاری به مخرج نداریم و فقط صورت کسرها را جمع و تفریق کردیم برای آشنایی بیشتر مثالهای دیگری را با حل می کنیم:
[math]3)\frac{x}{3} + \frac{y}{3} = \frac{{x + y}}{3} \\\\{\rm{4)}}\frac{5}{x} – \frac{2}{x} = \frac{3}{x} \\\\5)\frac{x}{{x – 1}} + \frac{{x + 1}}{{x – 1}} = \frac{{x + x + 1}}{{x – 1}} = \frac{{2x + 1}}{{x – 1}} \\\\6)\frac{{3x – 4}}{{x – 4}} + \frac{{x – 5}}{{x – 4}} = \frac{{3x – 4 + x – 5}}{{x – 4}} = \frac{{4x – 9}}{{x – 4}} \\\\7)\frac{{2x – 3}}{{x – 2}} + \frac{{x – 4}}{{x – 2}} = \frac{{2x – 3 – x + 4}}{{x – 2}} = \frac{{x + 1}}{{x – 2}}[/math]
در مثالهای بالا ما حالتهای مختلفی را بررسی کردیم مثلا در مثال 3 مخرج ما یک عدد بود و صورت متغیر بود ، ولی چون مخرج مساوی بود پس ما عمل جمع را برای صورت کسر انجام دادیم در مثالهای بعدی مخرج متغیر و چند جمله ای بود اما باز هم به دلیل مساوی بودن مخرج ما جمع و تفریق صورت کسر را انجام دادیم
2-مخرج کسرها مساوی نباشد :
مانند اعداد کسری ،کسرهایی با مخرج مشترک بدست می آوریم و سپس مانند حالت قبل حاصل را بدست می آوریم :
معمولا از قانون زیر برای هم مخرج کردن جمع استفاده می کنیم :
و از قانون زیر برای هم مخرج کردن تفریق استفاده می کنیم :
مثال : جمع و تفریق زیر را انجام دهید:
[math]1)\frac{x}{2} + \frac{y}{5} = \frac{{(x)(5) + (2)(y)}}{{(2)(5)}} = \frac{{5x + 2y}}{{10}} \\\\2)\frac{5}{{ab}} + \frac{6}{{ac}} = \frac{{(5)ac + 6(ab)}}{{{a^2}bc}} = \frac{{5ac + 6ab}}{{{a^2}bc}} = \frac{{a(5c + 6b)}}{{{a^2}bc}} = \frac{{5c + 6b}}{{abc}} \\[/math]
در مثال دوم اگر دقت کنید بعد از جمع با استفاده از فاکتور گیری کسر را ساده کردیم
[math]3)\frac{{x + 2}}{x} – \frac{x}{{x – 2}} = \frac{{(x + 2)(x – 2) – (x)(x)}}{{x(x – 2)}} = \frac{{({x^2} – {2^2}) – {x^2}}}{{{x^2} – 2x}} = \frac{{ – 4}}{{{x^2} – 2x}} \\[/math]
اگر مخرج کسرها قابل تجزیه شدن باشد ، بهتر است آن را تجزیه کنیم و مراحل زیر را انجام دهیم :
- همه عامل های یکسان و غیر یکسان با بزرگترین توان را در هم ضرب کنیم .در واقع ما ک.م.م چند جمله ای یا همان کوچکترین مضرب مشترک چند جمله ای را بدست می آوریم .
- صورت و مخرج هر کسر را در عبارات لازم ضرب کرده تا هم مخرج شوند.
- پس از یکسان شدن مخرج ها با همان روش اول یعنی (مخرج کسرها مساوی بود) عمل جمع یا تفریق را انجام می دهیم.
مثال :
[math] 4)\frac{3}{{ab}} + \frac{4}{{bc}} + \frac{5}{{cd}} \\ [/math]
در این مثال می خواهیم کوچکترین مضرب مشترک بین سه مخرج را پیدا کنیم ، برای این کار همه عامل های یکسان و غیر یکسان با بزرگترین توان را در هم ضرب می کنیم ، اینجا توان همه عاملها یک است
شکل بالا را ببیند ما بین سه تا مخرج عامل یکسان بین هر سه تا نداریم اما هر دوتا با هم عاملهای یکسانی دارند که ما در شکل بصورت هم رنگ نمایش داده ایم عامل b و عامل c در شکل بالا ببینید که بین دوتا با هم مشترک هستند اما عامل a و d غیر مشترک است پس اینها را هم با بزرگترین توانشان در نظر می گیریم خوب طبق شکل بالا کوچکترین مضرب مشترک ما abcd شد .حالا باید کسر را با استفاده از همین عامل هم مخرج کنیم و همچنین صورتهای کسر باید تغییر کند:
کسر [math] \frac{3}{{ab}} [/math] را در نظر بگیرید باید مخرج آن تبدیل شود به [math]abcd[/math] خوب برای این کار [math]abcd[/math]را بر [math]ab[/math] تقسیم می کنیم حاصلش:
[math]\frac{{abcd}}{{ac}} = cd[/math]
پس [math]cd[/math] بدست آمده را باید در صورت کسر ضرب کنیم در واقع کسر ما باید بصورت زیر باشد :
[math]\frac{3}{{ab}} = \frac{{3cd}}{{abcd}}[/math]
همین روش را برای بقیه کسرها در پیش می گیریم که کسر ما بصورت زیر خواهد شد :
مثالهای زیر را برای یادگیری بهتر ببینید.
[math]5)\frac{2}{{pq}} + \frac{3}{{qr}} + \frac{4}{{rs}} = \frac{{2rs}}{{pqrs}} + \frac{{3ps}}{{pqrs}} + \frac{{4pq}}{{pqrs}} = \frac{{2rs + 3ps + 4pq}}{{pqrs}} \\\\6)\frac{3}{{{a^2}b}} + \frac{4}{{a{b^2}}} = \frac{{3b}}{{{a^2}{b^2}}} + \frac{{4a}}{{{a^2}{b^2}}} = \frac{{3b + 4a}}{{{a^2}{b^2}}} \\\\7)\frac{1}{{{x^2} – x}} + \frac{2}{x} = \frac{1}{{x(x – 1)}} + \frac{2}{x} = \frac{{1 + 2(x – 1)}}{{x(x – 1)}} = \frac{{1 + 2x – 2}}{{x(x – 1)}} = \frac{{2x – 1}}{{x(x – 1)}} \\\\[/math]