قضیه های بنیادی حساب دیفرانسیل و انتگرال (بخش1)
قضیه های بنیادی حساب دیفرانسیل و انتگرال
در درس های قبلی نشان دادیم که چگونه می توان با کمک مجموع ریمان مساحت زیر منحنی ها را محاسبه کرد و همچنین نشان دادیم که انتگرال در واقع مساحت زیر نمودارها را محاسبه می کرد.
در این درس می خواهیم ارتباط بین انتگرال و مشتق را بین کنیم .البته ما در درس های قبلی گفتیم که انتگرال و مشتق معکوس یکدیگر هستند اما در این درس با عمقی بیشتر به این مساله می پردازیم .
حتما به یاد دارید که چگونه عمل ضرب و عمل تقسیم در ریاضی معکوس یکدیگر بودند . رابطه مشتق و انتگرال نیز مشابه همین است .
در شكل بالا دو شکل سمت چپ نشان دهنده مشتق است در اولین شکل شیب خط مستقیم حساب شده که از تغییرات x بر تغييرات y بدست می آید . اما در شکل بعدی شیب خط مماس بر اساس مشتق بدست می آید که به صورت تقریبی از تغییرات روي محور x ها بر تغییرات روی محور y ها بدست می آمد.
در دو شکل سمت راست برای انتگرال طبق درسهای قبلی در شکل اول با استفاده از جمع ریمان و جمع مساحت مستطیلهای محاطی و محیطی منحنی بدست می آید . اما در شکل با استفاده از انتگرال فقط مساحت زیر منحنی محاسبه می شود.
در واقع ما در شکل بالا می بینیم که برای همان منحنی ما با استفاده از مشتق و انتگرال یکبار شیب خط را حساب کردیم و بار دیگر مساحت زیر منحنی را حساب کردیم .
از این به بعد علامتهای فوق را با این مفهوم در ذهن تان بسپارید .
اولین قضیه بنیادی حساب دیفرانسیل و انتگرال
اگر تابع [math]f[/math]در بازه [math][a,b][/math] پیوسته باشد و تابع [math]F[/math] در این بازه به صورت زیر تعریف شود:
[math]F(x) = \int_a^x {f(t)dt}[/math]
آنگاه به ازای هر [math]x \in [a,b][/math] خواهیم داشت که :
[math]F'(x) = f(x)[/math]
عبارت بالا را به شکل زیر هم می توان نوشت :
[math]\frac{d}{{dx}}\left( {\int_a^x {f(t)dt} } \right) = f(x)[/math]
در واقع هر گاه که [math]f[/math] مثبت باشد و [math]F[/math] نشان دهنده مساحت زیر منحنی تابع [math]f[/math] از نقطه [math]a[/math] نقطه [math]b[/math] به صورت زیر است :
فرق این انتگرال با انتگرال معین عادی در این است که ما اینجا نتیجه انتگرالمون یک تابع بر حسب x خواهد بود.
از توضیحات بالا فهمیدیم که مشتق یک انتگرال معین نسبت به متغیری که در حد بالایش قرار دارد ، برابر است با تابع زیر انتگرال به ازای آن متغیر است .
مثال 1: چون تابع [math]\frac{{\sin x}}{x}[/math] در بازه [math][1, + \infty )[/math] پیوسته است پس :
[math]{\left( {\int_1^x {\frac{{\sin t}}{t}dt} } \right)^\prime } = \frac{{\sin x}}{x}[/math]
مثال 2:انتگرال کسینوس زیر را محاسبه کنید :
[math]\int_0^x {\cos tdt} = \sin t]_0^x = \sin x – \sin 0 = \sin x[/math]
مثال 3: انتگرال زیر را حساب کنید:
[math]\int_{ – \frac{\pi }{2}}^x {\sqrt {{{\sin }^2}t – 2} dt}[/math]
یاد گرفتیم که :
[math]F\left( x \right) = \frac{d}{{dx}}\left( {\int\limits_a^x {f\left( t \right)dt} } \right) = f\left( x \right)[/math]
پس حاصل انتگرال ما :
[math]F\left( x \right) = \frac{d}{{dx}}\left( {\int\limits_{ – \frac{\pi }{2}}^x {\sqrt {{{\sin }^2}t + 2} dt} } \right) = \sqrt {{{\sin }^2}x + 2}[/math]
حالتهای خاص قضیه فوق
1-حالت اول: اگر [math]F(x) = \int_a^{u(x)} {f(t)dt}[/math] و تابع [math]u[/math] مشتق پذیر باشد، آنگاه :
[math]F'(x) = u'(x).f(u(x))[/math]
مثال 4: انتگرال زیر را حساب کنید.
[math]F(x) = \int_{\frac{\pi }{2}}^{{x^3}} {\cos tdt} \\\\u(x) = {x^3}\\F'(x) = u'(x).f(u(x)) \to ({x^3})'(\cos {x^3}) = 3{x^2}\cos x[/math]
حالت دوم : [math]F(x) = \int_{g(x)}^a {f(t)dt}[/math] به صورت زیر محاسبه می شود:
[math]F'(x) = – g'(x).f(g(x))[/math]
حالت سوم : [math]F(x) = \int_{v(x)}^{u(x)} {f(t)dt}[/math] به صورت زیر محاسبه می شود:
[math]F'(x) = u'(x).f(u(x)) – v'(x).f(v(x))[/math]
مثال5: [math]\int_{{x^2}}^{{x^3}} {tdt}[/math] را حساب کنید.
[math]F(x) = \int_{v(x)}^{u(x)} {f(t)dt} \\\\u(x) = {x^3} \Rightarrow u'(x).f(u(x)) = 3{x^2}.{x^3} = 3{x^5}\\v(x) = {x^2} = v'(x).f(v(x)) = 2x.{x^2} = 2{x^3}\\F'(x) = u'(x).f(u(x)) – v'(x).f(v(x))\\F'(x) = 3{x^5} – 2{x^3}[/math]
مثال 6:مشتق انتگرال [math]f\left( x \right) = \int_{\sqrt x }^x {({t^2} – t)dt}[/math] را حساب کنید.
[math]f\left( x \right) = \int_{\sqrt x }^x {({t^2} – t)dt} \\u(x) = x \to u'(x).f(u(x)) = 1.({x^2} – x)\\v(x) = \sqrt x \to v'(x).f(v(x)) = (\sqrt x )’\left( {{{(\sqrt x )}^2} – \sqrt x } \right)\\ = \frac{1}{{2\sqrt x }}.(x – \sqrt x ) = \frac{{\sqrt x }}{2} – \frac{1}{2}\\\\f’\left( x \right) = ({x^2} – x) – \left( {\frac{{\sqrt x }}{2} – \frac{1}{2}} \right) = {x^2} – x – \frac{{\sqrt x }}{2} + \frac{1}{2}[/math]
مثال 7:اگر [math]f(x) = \int_0^{\tan x} {\frac{{(4 – t)}}{{{t^2} + 2t + 3}}dt}[/math] مقدار مشتق [math]f(x)[/math] به ازای [math]x = \frac{\pi }{4}[/math] بدست آورید.
با توجه به اینکه [math]F(x) = \int_0^{u(x)} {f(t)dt \Rightarrow F'(x)} = u'(x).f(u(x))[/math] خواهیم داشت :
[math]u(x) = \tan x \to u'(x) = (1 + {\tan ^2}x)\\F'(x) = u'(x).f(u(x)) = (1 + {\tan ^2}x)\frac{{4 – \tan x}}{{{{\tan }^2}x + 2\tan x + 3}}\\F'(\frac{\pi }{4}) = 2 \times \frac{{4 – 1}}{6} = 1[/math]