انتگرال و مساله مساحت
نماد سیگما
قبل از اینکه وارد اصل مطلب مساحت و ارتباط آن با انتگرالها شویم ابتدا مختصر در مورد نماد سیگما توضیح می دهیم.
جمع n جمله[math]{a_1},{a_2},{a_3},{a_4}….,{a_n}[/math] به صورت زیر نوشته می شود:
[math]\sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}} = {a_1} + {a_2} + {a_3} + … + {a_n}[/math]
پس دیدیم که نماد سیگما یک عملگر جمع است که برای جمع بستن جملات پشت سر هم به کار می روند .
مثلا عبارت [math]1+2+3+4+…+100[/math] را در نظر بگیرید خوب این یعنی جمع اعداد از یک تا صد است .
[math]\sum\limits_{i = 1}^{100} i = 1 + 2 + 3 + … + 100[/math]
برای درک بهتر چند مثال زیر را ببینید:
[math]a)\sum\limits_{i = 0}^5 {(i} + 1) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6\\b)\sum\limits_{i = 2}^6 {{j^3} = } {2^3} + {3^3} + {4^3} + {5^3} + {6^3}\\c)\sum\limits_{i = 2}^n {\frac{1}{n}({k^2} + 1) = } \frac{1}{n}({1^2} + 1) + \frac{1}{n}({2^2} + 1) + … +\frac{1}{n}({n^2} + 1)\\d)\sum\limits_{i = 1}^n {f({x_i})\Delta x = } f({x_1})\Delta x + f({x_2})\Delta x + … + f({x_n})\Delta x [/math]
برخی خصوصیات نماد سیگما
[math] 1)\sum\limits_{i = 1}^n {k{a_i}} = k\sum\limits_{i = 1}^n{{a_i}} \\2)\sum\limits_{i = 1}^n {({a_i}} \pm {b_i}) = \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}} \pm \sum\limits_{i = 1}^n {{b_i}} [/math]
چند فرمول از سیگماهای پرکاربرد
[math]1)\sum\limits_{i = 1}^n c = nc\\2)\sum\limits_{i = 1}^n i = \frac{{n(n + 1)}}{2}\\3)\sum\limits_{i = 1}^n {{i^2} = \frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}} \\4)\sum\limits_{i = 1}^n {{i^3}} = \frac{{{n^2}{{(n + 1)}^2}}}{4}[/math]
مبحث سیگما مفصل تر از این هست اما در این درس هدف ما بحث مفصل سیگما نیست فقط می خواهیم اشاره ای داشته باشیم تا در بررسی محاسبه مساحتهای زیر منحنی ها از ان استفاده کنیم .
مساحت
فرمولهای محاسبه مساحت چند ضلعی ها ،نظیر مربع ،مستطیل،مثلث و ذوزنقه از زمان های دور به خوبی شناخته شده هستند اما مشکل سر یافتن مساحت شکلهای منحنی مانند است.
ارشمیدس از جمله اولین دانشمندان یونان بود که برای محاسبه مساحت دایره از روش چند ضلعی محاطی و چند ضلعی محیطی استفاده کرد . هر چه تعداد اضلاع این چند ضلعی ها محیطی و محاطی بیشتر می شد به مقدار تقریبی مساحت دایره نزدیکتر می شد.مثلا در شکل زیر ابتدا دایره را با شش ضلعی محیطی و شش ضلعی محاطی نشان می دهد سپس در سمت راست با 12 ضلعی محیطی و محاطی . که ارشمیدش اینجا مساحت این چند ضلعیها را محاسبه می کرد .
همچنین در فیلم زیر می بینیم که چگونه با افزایش تعداد اضلاع اشکال محیطی و محاطی می توان به محاسبه مساحت دایره نزدیک شد.
مسلما ما اینجا نمی خواهیم روش ارشمیدس را توضیح دهیم بلکه اشاره ای می کنیم تا با استفاده از روش آن بتوانیم مساحت زیر برخی منحنی ها را حساب کنیم .
اکنون می خواهیم با حل چند مثال روشی مشابه روش ارشمیدس را در بدست آوردن مساحت تقریبی ناحیه های زیر منحنی ها را حساب کنیم .
مثال1: مساحت زیر منحنی [math] f(x) = – {x^2} + 5 [/math] را در ربع اول نمودار مختصات حساب کنید .
با استفاده از روش ارشمیدس باید اشکال هندسی محاطی و محیطی برای این نمودار داشته باشیم برای محاسبه مساحت قسمتی از نمودار که در شکل زیر مشخص شده به دو شکل زیر دقت کنید در شکل اول زیر منحنی5 مستطیل محاطی داریم که همگی زیر منحنی هستند و در شکل دوم 5 مستطیل محیطی داریم : ما باید مساحت هر دو شکل را حساب کنیم که در واقع مساحت زیر منحنی تقریب بین این دو حالت است .
حالت اول :
در شکل بالا ما زیر منحنی 5 مستطیل رسم کردیم در بازه بین [math]x=0[/math] تا [math]x=2[/math] این بازه به 5 قسمت تقسیم شده که در واقع طول هر بازه [math] \frac{2}{5} [/math] است نقطه انتهایی (در سمت راست بازه ) هر بازه به صورت [math]\frac{2}{5}i[/math] است .خوب دقت کنید نقاط انتهایی بازه ها روی منحنی قرار گرفته اند.برای همین ما برای محاسبه ارتفاع هر کدام از این مستطیلها باید نقاط انتهایی هر بازه را در نظر بگیریم . وقتی که [math]i = 1,2,3,4,5[/math] باشد آنگاه طول هر بازه [math]\frac{2}{5} [/math] است که در واقع یعنی عرض مستطیلها است . اما ارتفاع هر مستطیل برابر مقدار تابع در نقطه انتهایی (سمت راست) بازه ها است. مساحت هر کدام از مستطیل های فوق به صورت [math]f(\frac{{2i}}{5})(\frac{2}{5})[/math] محاسبه می شود که جمع همه اینها به صورت زیر خواهد بود : چون ما 5 مستطیل داشتیم پس مساحت تقریبی زیر نمودار حاصل از محاسبه مساحت پنج مستطیل بدست می آید که عدد تقریبی [math]6.48[/math] بدست آمد .
|
حالت دوم :
در شکل بالا ما زیر منحنی 5 مستطیل محیطی رسم کردیم در بازه بین [math]x=0[/math] تا [math]x=2[/math] این بازه به 5 قسمت تقسیم شده که در واقع طول هر بازه [math] \frac{2}{5} [/math] است نقطه ابتدایی (در سمت چپ بازه ) هر بازه به صورت [math] (\frac{2}{5})(i – 1) [/math] است .خوب دقت کنید نقاط ابتدایی هر بازه در این شکل نشان روی منحنی قرار گرفته اند برای همین اینجا برای محاسبه ارتفاع هر مستطیل باید از نقاط سمت چپ یا همان نقاط ابتدایی هر بازه استفاده کنیم. وقتی که [math]i = 1,2,3,4,5[/math] باشد آنگاه طول هر بازه [math]\frac{2}{5} [/math] است که در واقع یعنی عرض مستطیلها است . اما ارتفاع هر مستطیل برابر مقدار تابع در نقطه ابتدایی (سمت چپ) بازه ها است. مساحت هر کدام از مستطیل های فوق به صورت [math] f(\frac{{2i – 2}}{5})(\frac{2}{5}) [/math] محاسبه می شود که جمع همه اینها به صورت زیر خواهد بود : چون ما 5 مستطیل داشتیم پس مساحت تقریبی زیر نمودار حاصل از محاسبه مساحت پنج مستطیل بدست می آید که عدد تقریبی [math]8.08[/math] بدست آمد .
|
اکنون ار ترکیب حالت اول و حالت دوم که در بالا بدست آوردیم می توان نتیجه گرفت که مساحت تقریبی شکل زیر منحنی :
هر چقدر که ما در اینجا مقدار مستطیل ها را کوچکتر کنیم و تقریب بیشتر بگیریم به عددهای دیگری می رسیم که فاصله بین آنها کمتر و نشان دهنده مقدار دقیق تر مساحت ناحیه زیر منحنی است.اما در این درس هدف ما فهمیدم فلسفه اینکه محاسبه مساحت زیر یک منحنی بر اساس ریاضیات پایه و علوم قدیم بر چه اساسی می باشد و در واقع این مقدمه ای خواهد بود بر مبحث اینکه چگونه انتگرال می تواند به راحتی مساحتهای زیر منحنی ها را محاسبه کند . در درس بعدی این مطلب را ادامه خواهیم داد و گام بعدی را توضیح می دهیم.