روابط بین ضرایب و ریشه های معادله درجه دوم
روابط بین ضرایب و ریشه های معادله درجه دوم
در این مطلب علاوه بر آموزش روابط بین ضرایب و ریشه های معادله درجه دوم چند نمونه سوال از آزمونهای حسابان مربوط به همین مبحث در سالهای گذشته نیز حل می کنیم.
اگر معادله درجه دوم را فراموش کرده اید می توانید در همین سایت سایر آموزشهای معادله درجه دوم را ببینید و از خواندن آنها لذت ببرید.
می دانیم که اگر [math] \Delta > 0 [/math] باشد معادله درجه دوم ما دارای دو ریشه بصورت زیر خواهد بود :
[math]{x_1} = \frac{{ – b + \sqrt \Delta }}{{2a}}\\{x_2} = \frac{{ – b – \sqrt \Delta }}{{2a}}[/math]
الف )جمع ریشه ها
اگر ریشه های بدست آمده در بالا را با هم جمع ببندیم :
[math]{x_1} + {x_2} = \frac{{ – b + \sqrt \Delta }}{{2a}} + \frac{{ – b – \sqrt \Delta }}{{2a}} \Rightarrow {x_1} + {x_2} = \frac{{ – 2b}}{{2a}} = – \frac{b}{a}\\[/math]
در این صورت ، مجموع ریشه های را با [math]S[/math] نشان می دهیم .
[math]{x_1} + {x_2} = S = – \frac{b}{a}[/math]
ب)ضرب ریشه ها
[math]{x_1}.{x_2} = \frac{{ – b + \sqrt \Delta }}{{2a}} \times \frac{{ – b – \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{{b^2} – \Delta }}{{4{a^2}}} = \frac{{{b^2} – ({b^2} – 4ac)}}{{4{a^2}}} = \frac{{4ac}}{{4{a^2}}} = \frac{c}{a}\\[/math]
در این صورت ، ضرب ریشه های را با [math]P[/math] نشان می دهیم .
[math]{x_1}.{x_2} = P = \frac{c}{a}[/math]
ج)قدر مطلق تفاضل ریشه ها
[math]|{x_1} – {x_2}| = |\frac{{ – b + \sqrt \Delta }}{{2a}} – \frac{{ – b – \sqrt \Delta }}{{2a}}| = |\frac{{ – 2\sqrt \Delta }}{{2a}}|\\\\|{x_1} – {x_2}| = \frac{{\sqrt \Delta }}{{|a|}}[/math]
مثال1: اگر [math]x=-1[/math] یک ریشه معادله [math] 4{x^2} – mx – 7 = 0 [/math] باشد ،ریشه دیگر و مقدار m را با استفاده از روابط بین ضرایب و ریشه ها بدست آورید.
[math] a = 4,b = – m,c = – 7[/math]
با استفاده از رابطه ضرب ریشه های معادله داریم :
[math]P = {x_1}.{x_2} = \frac{c}{a} = ( – 1).{x_2} = \frac{{ – 7}}{4} \Rightarrow {x_2} = \frac{7}{4}[/math]
[math]S = {x_1} + {x_2} = \frac{{ – b}}{a} = – 1 + \frac{7}{4} = \frac{m}{4} \Rightarrow m = 3[/math]
مثال 2:اگر [math] {x_1},{x_2} [/math] ریشه های معادله [math] 2{x^2} – 7x + 4 = 0 [/math] باشند ،حاصل [math] \frac{1}{{\sqrt {{x_1}} }} + \frac{1}{{\sqrt {{x_2}} }} [/math] را بدست آورید.
شاید در نگاه اول فکر می کنید که باید ریشه های معادله را حساب کنید و سپس در عبارت فوق قرار دهیم . اما اگر چه اینکار درست هست ولی با استفاده از جمع و ضرب ریشه ها کار ما ساده تر خواهد بود . من ابتدا عبارت رادیکالی را ساده تر می کنم و برای این کار عبارت را برابر A قرار می دهم :
[math]A = \frac{1}{{\sqrt {{x_1}} }} + \frac{1}{{\sqrt {{x_2}} }}[/math]
عبارت بالا را به توان 2 می رسانیم :
[math]{A^2} = \frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} + \frac{2}{{\sqrt {{x_1}{x_2}} }} = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} + \frac{2}{{\sqrt {{x_1}{x_2}} }}\\[/math]
از طرفی دیگر می دانیم که طبق معادله جمع و ضرب ریشه ها بصورت زیر است :
[math]{x_1} + {x_2} = \frac{{ – b}}{a} = \frac{7}{2}\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{4}{2} = 2[/math]
این مقادیر را در عبارت زیر قرار می دهیم :
[math]2{x^2} – 7x + 4 = 0\\{A^2} = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} + \frac{2}{{\sqrt {{x_1}{x_2}} }} = \frac{{\frac{7}{2}}}{2} + \frac{2}{{\sqrt 2 }} = \frac{7}{4} + \sqrt 2 = \frac{{7 + 4\sqrt 2 }}{4} \Rightarrow \\\\A = \frac{{\sqrt {7 + 4\sqrt 2 } }}{2}\\[/math]
کاربرد روابط بین ریشه های معادله درجه دوم
یکی از مهمترین کاربردهای مبحث بالا تشکیل معادله درجه دوم زمانی که ریشه های آن معلوم باشند . ما تا اینجا همیشه معادله درجه دوم داشتیم و بعد ریشه های آن را حساب می کردیم اما حالا برعکس میخواهیم با دانستن ریشه های معادله درجه دوم به اصل معادله درجه دوم برسیم .
حال فرض می کنیم که جوابهای یک معادله رو داریم [math] {x_1},{x_2} [/math] از طرفی دیگر می دانیم که فرم معادله درجه دوم بصورت زیر است :
[math] a{x^2} + bx + c = 0[/math]
همچنین جمع و ضرب ریشه های معادله درجه دوم بصورت زیر است :
[math]{x_1} + {x_2} = – \frac{b}{a},P={x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}S=[/math]
اکنون فرم کلی معادله درجه 2 را بر a تقسیم می کنیم .
[math]\frac{{a{x^2} + bx + c}}{a} = 0 \Rightarrow \frac{{a{x^2}}}{a} + \frac{{bx}}{a} + \frac{c}{a} = 0 \Rightarrow {x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\\[/math]
از طرفی دیگر گفتیم که مجموع و ضرب ضرایب برابر چی بود ،کافیست آن را در معادله بالا جایگزاری کنیم .
[math]\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\\S = – \frac{b}{a}\\P = \frac{c}{a}\end{array} \right\} \to {x^2} – Sx + p = 0[/math]
اگر مجموع دو ریشه معادله S و حاصل ضرب آنها برابر P باشد .آنگاه معادله درجه دومی بصورت زیر خواهیم داشت :
[math] {x^2} – Sx + p = 0 [/math]
مثال 3:معادله درجه دومی تشکیل دهید که ریشه های آن [math] 2 – \sqrt 3 ,2 + \sqrt 3 [/math] باشند .
ابتدا جمع دو ریشه را حساب می کنیم
[math] S = {x_1} + {x_2} = 2 + \sqrt 3 + 2 – \sqrt 3 = 4[/math]
سپس ضرب دو ریشه را حساب می کنیم :
[math] P = {x_1}.{x_2} = (2 + \sqrt 3 )(2 – \sqrt 3 ) = 4 – 3 = 1[/math]
اکنون کافیست این عددها را جایگزاری کنیم تا معادله درجه دوم ما بدست آید.
[math]S = 4\\P = 1\\{x^2} – Sx + p = 0 \Rightarrow {x^2} – 4x + 1 = 0[/math]
چند نمونه سوال امتحانی
تمرین 1: اگر [math] \alpha ,\beta[/math] ریشه های معادله [math] {x^2} – 5x + 3 = 0[/math] باشند ، بدون یافتن ریشه ها مقدار عددی [math] \frac{\alpha }{\beta } + \frac{\beta }{\alpha } [/math] را حساب کنید . (آزمون حسابان-دی ماه 85)
پاسخ :
ابتدا عبارت داده شده را هم مخرج می کنیم :
[math]\frac{\alpha }{\beta } + \frac{\beta }{\alpha } = \frac{{{\alpha ^2} + {\beta ^2}}}{{\alpha \beta }}[/math]
عبارت بالا هنوز راهگشای ما نیست بلکه باید به صورت جمع و ضرب تبدیلش کنیم ،پس با استفاده از اتحادها و رابطه [math] {a^2} + {b^2} = {(a + b)^2} – 2ab[/math]
رابطه بدست آمده را تغییر می دهیم :
[math]\frac{{{\alpha ^2} + {\beta ^2}}}{{\alpha \beta }} = \frac{{{{(\alpha + \beta )}^2} – 2\alpha \beta }}{{\alpha \beta }}\\[/math]
از طرفی دیگر می دانیم که جمع و تفریق ریشه ها برابر است با :
[math]\alpha + \beta = 5\\\alpha \beta = 3[/math]
پس با جایگزاری خواهیم داشت :
[math]\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{{(\alpha + \beta )}^2} – 2\alpha \beta }}{{\alpha \beta }}\\\alpha + \beta = 5\\\alpha \beta = 3\end{array} \right\} \to \frac{{{{(5)}^2} – 2 \times 3}}{3} = \frac{{25 – 6}}{3} = \frac{{19}}{3}[/math]
تمرین 2:اگر [math] \alpha ,\beta [/math] ریشه های معادله درجه دوم [math] 4{x^2} – 5x – 5 = 0 [/math] باشد،معادله ای بنویسید که ریشه های آن برابر [math] 2\alpha ,2\beta [/math] باشد.(امتحان حسابان –دی ماه-93)
پاسخ
از معادله داده شده جمع و تفریق ریشه ها را بدست می آوریم .
[math]\alpha + \beta = – \frac{b}{a} = – \frac{{ – 5}}{4} = \frac{5}{4}\\\alpha .\beta = \frac{c}{a} = \frac{{ – 5}}{4} = – \frac{5}{4}[/math]
اکنون این مقادیر حاصل شده را در 2 ضرب می کنیم :
[math]\left\{ \begin{array}{l}\alpha + \beta = \frac{5}{4}\\\alpha .\beta = – \frac{5}{4}\end{array} \right\} \to \left\{ \begin{array}{l}S = 2\alpha + 2\beta = 2(\alpha + \beta ) = \frac{5}{2}\\P = 2\alpha .2\beta = 4\alpha .\beta = – 5\end{array} \right\}[/math]
اکنون که جمع و ضرب ریشه های معادله جدید حساب کردیم پس کافیست بصورت زیر معادله جدید را حساب کنیم :
[math]\left\{ \begin{array}{l}{x^2} – Sx + p = 0\\S = \frac{5}{2}\\P = – 5\end{array} \right\} \to {x^2} – \frac{5}{2}x – 5 = 0[/math]
تمرین 3:در معادله [math] 2{x^2} – 8x + m = 0[/math] اگر یکی از جواب ها دو واحد از جواب دیگر بزرگتر باشد ،m و هر دو جواب را پیدا کنید.)آزمون حسابان –دی ماه 92)
پاسخ:
اگر [math] \beta[/math] یکی از ریشه ها باشد آنگاه ریشه دوم [math] \alpha = 2 + \beta [/math] خواهد بود.
[math]\left\{ \begin{array}{l}\alpha = 2 + \beta \\S = \alpha + \beta\end{array} \right\} \Rightarrow S = 2 + \beta + \beta = 2 + 2\beta [/math]
از طرفی دیگر طبق مساله ،مجموع ریشه ها برابر 4 است :
[math]\left\{ \begin{array}{l}S = 2 + 2\beta \\S = \frac{{ – b}}{a} = \frac{8}{2} = 4\end{array} \right\} \to 4 = 2 + 2\beta \Rightarrow \beta = 1 \Rightarrow \alpha = 3[/math]
اکنون با استفاده از ضرب ریشه ها مقدار m را حساب می کنیم
[math]\left\{ \begin{array}{l}P = \alpha .\beta = \frac{c}{a}\\\alpha = 3,\beta = 1\end{array} \right\} \to 3 \times 1 = \frac{m}{2} \Rightarrow m = 6[/math]