توابع گویا (کسری) و تعیین دامنه

توابع گویا در واقع عبارتهای گویا (کسری) هستند که صورت و مخرج آنها چند جمله ای هستند و البته مخرج نباید صفر باشد ، به تعبیری دیگر :

هر تابع به شکل [math] f(x) = \frac{{P(x)}}{{Q(x)}} [/math] را یک تابع گویا می نامیم که در آن [math]P(x),Q(x)[/math] چند جمله ای هستند و چند جمله ای [math]Q(x)[/math] نباید برابر صفر شود.

مثال 1: توابع زیر همگی توابع گویا (کسری ) هستند.

[math]f(x) = \frac{5}{{x + 2}}\\ g(x) = \frac{{\sqrt 2 x + 1}}{{{x^2} + 1}} [/math]

دامنه توابع کسری

مهمترین مساله در مورد توابع کسری پیدا کردن دامنه این توابع است .بنابر این برای تعیین دامنه توابع کسری ابتدا ریشه های مخرج را بدست می اوریم سپس آنها را از اعداد حقیقی کم می کنیم:

مثال2:دامنه تعریف تابع [math] f(x) = \frac{{x + 2}}{{{x^2} + 2x + 1}} [/math] را تعیین کنید.

ابتدا ریشه های مخرج را حساب می کنیم

[math] {x^2} + 2x + 1 = 0 \Rightarrow {(x + 1)^2} = 0 \Rightarrow x + 1 = 0 \Rightarrow x =  – 1\\ [/math]

پس دامنه تابع بصورت زیر خواهد بود

[math] {D_f} = R – \{  – 1\} [/math]

مثال3:دامنه تابع [math] f(x) = \frac{{1 + Sinx}}{{3 – \left[ {x + 1} \right]}} [/math] را بدست آورید.

ابتدا ریشه های مخرج را حساب می کنیم

[math] 3 – \left[ {x + 1} \right] = 0 \Rightarrow \left[ {x + 1} \right] = 3 \Rightarrow 3 \le x + 1 < 4 \Rightarrow 2 \le x < 3[/math]

پس دامنه تابع بصورت زیر خواهد بود

[math] {D_f} = R – [2,3) [/math]

مثال4:دامنه تابع [math] f(x) = \frac{{{x^2} + 3x + 1}}{{|x| – 1}} [/math] را بدست آورید.

ابتدا ریشه های مخرج را حساب می کنیم

[math] |x| – 1 = 0 \Rightarrow |x| = 1 \Rightarrow x =  \pm 1[/math]

پس دامنه تابع بصورت زیر خواهد بود

[math] {D_f} = R – \{  – 1,1\} [/math]

مثال5:دامنه تابع [math] f(x) = \frac{{{x^2} + 4}}{{|[x]| – 1}} [/math] را بدست آورید.

ابتدا ریشه های مخرج را حساب می کنیم

[math]|[x]| – 1 = 0 \Rightarrow |[x]| = 1 \Rightarrow |[x]| =  \pm 1 \Rightarrow \\ \\ \left\{ \begin{array}{l} [x] = 1 \Rightarrow 1 \le x < 2\\ [x] =  – 1 \Rightarrow  – 1 \le x < 0 \end{array} \right\} [/math]

تمام عددهایی که در بازه های [math] 1 \le x < 2, – 1 \le x < 0 [/math] قرار دارند مخرج کسر را صفر می کنند پس دامنه تابع بصورت زیر خواهد بود :

[math] {D_f} = R – \{ x|1 \le x < 2, – 1 \le x < 0\} [/math]