توابع هذلولی یا توابع هیپربولیک و انتگرال آنها
توابع هیپربولیک یا هذلولی از توابع پر کاربرد در ریاضیات می باشند که روابط بین آنها شبیه راوبط مثلثاتی است .با این تفاوت که توابع مثلثاتی روی دایره با شعاع واحد تعریف می شوند اما توابع هذلولی روی هذلولی متساوی الساقین تعریف می شوند.
به دو شکل زیر دقت کنید در یکی از شکلها مساحت زیر نیم دایره حساب می کنیم اما در شکل بعدی مساحت زیر هذلولی محاسبه کرده ایم :
با استفاده از انتگرال می تواند مساحت زیر نیم دایره را به صورت زیر محاسبه کرد:
[math]\int_{ – 1}^1 {\sqrt {1 – {x^2}} dx} = \frac{1}{2}\left[ {x\sqrt {1 – {x^2}} + \arcsin x} \right]_{ – 1}^1 = \frac{\pi }{2} = 1.571[/math]
اکنون مساحت زیر منحنی هذلولی نیز به صورت زیر محاسبه می شود:
[math]\int_{ – 1}^1 {\sqrt {1 + {x^2}} dx} = \frac{1}{2}\left[ {x\sqrt {1 + {x^2}} + {{\sinh }^{ – 1}}x} \right]_{ – 1}^1 = 2.296[/math]
الان عجله نکنید لابد می خواهید بدانید که این انتگرال چگونه محاسبه شد .در درسهای آینده مفصل توضیح خواهیم داد اما فعلا فقط می خواهیم مساحت منحنی ها داده شده را با انتگرال محاسبه کنیم و تفاوت بین این دو منحنی را درک کنیم .
توابع [math]sinhx,coshx[/math] با استفاده از تابع نمایی [math]{e^x}[/math] تعريف می شوند در حالی که توابع مثلثاتی با دایره سرو کار دارند و بر اساس روابط دایره تعریف می شوند . اما توابع هایپرولیک با هذلولی سر و کار دارند. به همین دلیل به آنها توابع هذلولی می گوییم.اگر در اطراف خود نگاه کنید خواهید دید که نمونه های زیادی از این دست توابع در اطراف شما دیده می شوند.
1-زنجیرهای شکل زیر را ببینید
2-خطوط انتقال نیرو در شکل زیر
3-قوس هذولولی مانند در معماری ساختمان زیر
اکنون وقتشه که مهمترین این توابع را به زبان ریاضی بیان کنیم .از آنجایی که توابع هذلولی بر اساس تابع نمایی تعریف می شوند پس به صورت زیر خواهند بود :
شباهت ها و تفاوت های توابع هیپربولیک وتوابع مثلثاتی
1-مقادیر [math]sinh0=0,cosh0=1[/math] همه توابع هيپربولیک در صفر همان مقادیری را دارند که توابع مثلثاتی متناظرشان دارند.
2-کسینوس هیپربولیک تابعی زوج است اما سینوس هیپربولیک تابعی فرد است در نتیجه نمودار [math]y=coshx[/math] نسبت به محور y ها و نمودار [math]y=sinhx[/math] نسبت به مبدا متقارن است .
نمودار سینوس و کسینوس هایپربولیک را در زیر می بینید:
3-توابع مثلثاتی تناوبی اند در حالی که توابع هیپربولیک چنین نیستند.
4-برد سینوس بین یک تا منفی یک است اما برد [math]sinhx[/math] بين مثبت بینهایت تا منفی بینهایت است .
5-برد کسینوس بین یک تا منفی یک است اما برد [math]coshx[/math] از مثبت بینهایت تا مثبت یک و سپس از آن تا مثبت بینهایت (مطابق شکل بالا) تغییر می کند.
نمودارهای تانژانت و کتانژانت هذلولی
نمودارهای سکانت و کسکانت هذلولی
روابط هیپربولیک
[math]{\cosh ^2}x – {\sinh ^2}x = 1\\{\tanh ^2}x + {\rm{sec}}{{\rm{h}}^2}x = 1\\{\cosh ^2}x = \frac{{1 + \cosh 2x}}{2}\\\sinh (x \pm y) = \sinh x\cdot\cosh y \pm \cosh x\cdot\sinh y\\\cosh (x \pm y) = \cosh x\cdot\cosh y \pm \sinh x\cdot\sinh y\\\sinh (2x) = 2\sinh x\cosh x\\\cosh (2x) = {\cosh ^2}x + {\sinh ^2}x\\{\sinh ^2}x = \frac{{ – 1 + \cosh 2x}}{2}\\{\cosh ^2}x = \frac{{1 + \cosh 2x}}{2}[/math]
یکی از روابط بالا را اثبات می کنیم :
[math]{\cosh ^2}x – {\sinh ^2}x = {\left( {\frac{{{e^x} + {e^{ – x}}}}{2}} \right)^2} – {\left( {\frac{{{e^x} – {e^{ – x}}}}{2}} \right)^2}\\\frac{{{e^{2x}} + 2 + {e^{ – 2x}}}}{4} – \frac{{{e^{2x}} – 2 + {e^{ – 2x}}}}{4} = \frac{4}{4} = 1[/math]
اکنون پس از معرفی کوتاه و مختصر توابع هیپربولیک می رسیم به بحث مشتق و انتگرال این توابع . خوشبختانه چون این توابع بر حسب تابع نمایی [math]{e^x}[/math] نوشته می شوند در نتیجه محاسبه مشتق و انتگرال آنها ساده تر است در جدول زیر مشتق و انتگرال هر کدام از توابع هیپربولیک را نشان داده ایم :
انتگرال(معکوس مشتق) | مشتق |
[math]\int {\cosh udu = \sinh u + c}[/math] |
[math](\sinh u)’ = (\cosh u)u'[/math] |
[math]\int {\sinh udu = \cosh u + c}[/math] |
[math](\cosh u)’ = (\sinh u)u'[/math] |
[math]\int {{{{\mathop{\rm sech}\nolimits} }^2}udu = \tanh u + c}[/math] |
[math](\tanh u)’ = ({{\mathop{\rm sech}\nolimits} ^2}u)u'[/math] |
[math]\int {{{{\mathop{\rm csch}\nolimits} }^2}udu = – \coth u + c}[/math] |
[math](\coth u)’ = – ({{\mathop{\rm csch}\nolimits} ^2}u)u'[/math] |
[math]\int {{\mathop{\rm sech}\nolimits} u\tanh udu = – {\mathop{\rm sech}\nolimits} u + c}[/math] |
[math]({\mathop{\rm sech}\nolimits} u)’ = – ({\mathop{\rm sech}\nolimits} u\tanh u)u'[/math] |
[math]\int {{\mathop{\rm csch}\nolimits} u\coth udu = – {\mathop{\rm csch}\nolimits} u + c}[/math] |
[math]({\mathop{\rm csch}\nolimits} u)’ = – ({\mathop{\rm csch}\nolimits} u\coth u)u'[/math] |
چون توابع هیپربولیک بر حسب تابع نمایی [math]{e^x}[/math] مشتق آنها به سادگی محاسبه می شود مثلا :
[math]{\left( {\sinh x} \right)^\prime } = {\left( {\frac{{{e^x} – {e^{ – x}}}}{2}} \right)^\prime } = \frac{{{e^x} + {e^{ – x}}}}{2} = \cosh x\\{\left( {\tanh x} \right)^\prime } = {\left( {\frac{{\sinh x}}{{\cosh x}}} \right)^\prime } = \frac{{\cosh x(\cosh x) – \sinh x(\sinh x)}}{{{{\cosh }^2}x}}\\ = \frac{1}{{{{\cosh }^2}x}} = {{\mathop{\rm sech}\nolimits} ^2}x[/math]
در مثالهای زیر چند نمونه مشتق را حل می کنیم :
[math]1){\left( {\sinh ({x^2} – 3)} \right)^\prime } = 2x\cosh ({x^2} – 3)\\2){\left( {\ln (\cosh x)} \right)^\prime } = \frac{{\sinh x}}{{\cosh x}} = \tanh x\\3){\left[ {(x – 1)\cosh x – \sinh x} \right]^\prime } = (x – 1)\sinh x + \cosh x – \cosh x = (x – 1)(x – 1)\sinh x[/math]
در مثالهای زیر انتگرالهای توابع هیپربولیک را محاسبه کنید :
[math]1)\int {\cosh 2x{{\sinh }^2}2xdx}[/math]
ابتدا در عدد 2 ضرب و تقسیم می کنیم
[math]\frac{1}{2}\int {{{(\sinh 2x)}^2}(2\cosh 2x)dx} \\u = \sinh 2x \to du = 2\cosh 2xdx\\\frac{1}{2}\int {{u^2}du = \frac{1}{2}} .\frac{{{u^3}}}{3} + c\\ = \frac{{{{(\sinh 2x)}^3}}}{6} + c[/math]
[math]2)\int {\frac{{\cosh \sqrt x }}{{\sqrt x }}} dx\\u = \sqrt x \to du = \frac{1}{{2\sqrt x }}dx\\
\int {\frac{{\cosh \sqrt x }}{{\sqrt x }}} dx = 2\int {\cosh \sqrt x } (\frac{1}{{2\sqrt x }})dx = 2\int {\cosh udu} \\
= 2\sinh u + c\\= 2\sinh \sqrt x + c[/math]
[math]3)\int {x\csc {h^2}\frac{{{x^2}}}{2}dx} \\
u = \frac{{{x^2}}}{2} \to du = xdx\\
\int {x\csc {h^2}\frac{{{x^2}}}{2}dx} = \int {\csc {h^2}udu = – \coth u + c = } – \coth \frac{{{x^2}}}{2} + c[/math]
[math]4)\int {\frac{{\csc h(\frac{1}{x})\coth (\frac{1}{x})}}{{{x^2}}}dx} \\u = \frac{1}{x} \to du = – \frac{1}{{{x^2}}}dx\\= – \int {\csc h\frac{1}{x}\coth \frac{1}{x}(} – \frac{1}{{{x^2}}}dx) = – \int {\csc hu\coth udu = } \csc hu + c\\= \csc h\frac{1}{x} + c[/math]
[math]5)\int {2{e^{ – x}}\cosh xdx} \\
2{e^{ – x}}\left[ {\frac{{{e^x} + {e^{ – x}}}}{2}} \right] = 1 + {e^{ – 2x}}\\
\int {2{e^{ – x}}\cosh xdx} = \int {(1 + {e^{ – 2x}})} dx = \int {dx + \int {{e^{ – 2x}}dx} } \\
= x – \frac{1}{2}{e^{ – 2x}}[/math]
[math]6)\int {\frac{{dx}}{{2\cosh x + \sinh x}}} \\ = \int {\frac{{dx}}{{2 \times \frac{{{e^x} + {e^{ – x}}}}{2} + \frac{{{e^x} – {e^{ – x}}}}{2}}} = \int {\frac{{dx}}{{{e^x} + {e^{ – x}} + \frac{{{e^x} – {e^{ – x}}}}{2}}}} } \\ = \int {\frac{{2dx}}{{3{e^x} + {e^{ – x}}}}} = \int {\frac{{2dx}}{{3{e^x} + \frac{1}{{{e^x}}}}} = \int{\frac{{2{e^x}}}{{3{e^{2x}} + 1}}dx} } \\{e^x} = u \to {e^x}dx = du\\\int {\frac{{2du}}{{3{u^2} + 1}} = 2\int {\frac{{du}}{{{{(\sqrt {3u} )}^2} + 1}}} }[/math]
[math]= \frac{2}{{\sqrt 3 }}\arctan (\sqrt 3 u) = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\arctan (\sqrt 3 {e^x})[/math]