انتگرالهایی که به توابع معکوس مثلثاتی منجر می شوند
در این درس می خواهیم به بررسی انتگرالهایی بپردازیم که به توابع معکوس مثلثاتی مانند آرک سینوس و آرک تانژانت و بقیه منجر می شوند ، ابتدا مشتق توابع معکوس مثلثاتی را یادآوری می کنیم :
[math]y = Arc\sin x = {\sin ^{ – 1}}x \to y’ = \frac{1}{{\sqrt {1 – {x^2}} }}[/math] |
[math]y = Arc\cos x = {\cos ^{ – 1}}x \to y’ = – \frac{1}{{\sqrt {1 – {x^2}} }}[/math] |
[math]y = Arc\tan x = {\tan ^{ – 1}}x \to y’ = \frac{1}{{1 + {x^2}}}[/math] |
[math]y = Arc\cot x = {\cot ^{ – 1}}x \to y’ = \frac{{ – 1}}{{1 + {x^2}}}[/math] |
[math]y = Arc\sec x = {\sec ^{ – 1}}x \to y’ = \frac{1}{{|x|\sqrt {{x^2} – 1} }}[/math] |
[math]y = Arc\csc x = {\csc ^{ – 1}}x \to y’ = \frac{{ – 1}}{{|x|\sqrt {{x^2} – 1} }}[/math] |
بر اساس این فرمولهایی که در بالا گفتیم انتگرالهایی که به توابع معکوس مثلثاتی منجر می شوند اگر u تابعی مشتق پذیر بر حسب x باشد و a عدد ثابتی باشد داریم :
اکنون برای فهم بیشتر چند مثالی را با حل می کنیم :
[math]1)\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {2 – {x^2}} }}} \\{a^2} = 2 \to a = \sqrt 2 \Rightarrow \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {2 – {x^2}} }}} = \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{{(\sqrt 2 )}^2} – {x^2}} }}} \\ = {\sin ^{ – 1}}\frac{x}{{\sqrt 2 }} + c[/math]
[math]2)\int {\frac{{dx}}{{2 + 9{x^2}}}}[/math]
ابتدا انتگرال را در عدد 3 ضرب و تقسیم می کنیم
[math]\frac{1}{3}\int {\frac{{3dx}}{{2 + 9{x^2}}}}[/math]
اکنون باید تغییر متغیر انجام بدیم :
[math]u = 3x \to du = 3dx\\a = \sqrt 2 [/math]
با جایگزاری انتگرال ما به صورت زیر خواهد شد :
[math]u = 3x \to du = 3dx\\a = \sqrt 2[/math] | [math]\frac{1}{3}\int {\frac{{3dx}}{{2 + 9{x^2}}}} = \frac{1}{3}\int {\frac{{3dx}}{{{{(\sqrt 2 )}^2} + {{(3x)}^2}}}}[/math] |
[math] = \frac{1}{{3\sqrt 2 }}\arctan \frac{{3x}}{{\sqrt 2 }} + c[/math]
[math]3)\int {\frac{{dx}}{{x\sqrt {4{x^2} – 9} }}}[/math]
در طرف انتگرال را در عدد 2 ضرب و تقسیم می کنیم :
[math]\int {\frac{{dx}}{{x\sqrt {4{x^2} – 9} }}} = \int {\frac{{2dx}}{{2x\sqrt {4{x^2} – 9} }}}[/math]
اکنون با تغییر متغیر داریم :
[math]u = 2x \to du = 2dx[/math]
و همچنین طبق فرمول [math]a=3[/math] پس خواهیم داشت :
[math]\int {\frac{{2dx}}{{2x\sqrt {4{x^2} – 9} }}} = \int {\frac{{2dx}}{{2x\sqrt {{{(2x)}^2} – {3^2}} }}} = \int {\frac{{du}}{{u\sqrt {{u^2} – {a^2}} }}} \\u = 3x,a = 3\\ = \frac{1}{3}arc\sec \frac{{|2x|}}{3} + c[/math]
[math]4)\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{e^{2x}} – 1} }}}[/math]
ابتدا باید تغییر متغیر انجام بدیم :
[math]u = {e^{2x}} \to du = {e^x}dx \to dx = \frac{{du}}{{{e^x}}} = \frac{{du}}{u}[/math]
براساس تغییر متغیر بدست آمده انتگرال را بازنویسی می کنیم :
[math]\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{e^{2x}} – 1} }}} = \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{{({e^x})}^2} – 1} }}} = \int {\frac{{\frac{{du}}{u}}}{{\sqrt {{u^2} – 1} }}} \\ = \int {\frac{{du}}{{u\sqrt {{u^2} – 1} }}} = arc\sec \frac{{|u|}}{1} + c = arc\sec ({e^x}) + c\\[/math]
[math]5)\int {\frac{{\sin x\cos xdx}}{{\sqrt {2 – {{\sin }^4}x} }}}[/math]
با استفاده از تغییر متغیر داریم :
[math]u = {\sin ^2} \to du = 2\sin x\cos x[/math]
پس انتگرال را به صورت زیر باز نویسی می کنیم :
[math]\int {\frac{{\sin x\cos xdx}}{{\sqrt {2 – {{\sin }^4}x} }}} = \frac{1}{2}\int {\frac{{du}}{{\sqrt {2 – {u^2}} }} = \frac{1}{2}} \arcsin \frac{u}{{\sqrt 2 }} + c\\= \frac{1}{2}\arcsin \frac{{{{\sin }^2}x}}{{\sqrt 2 }} + c[/math]
تکمیل مربع
یکی از روشهایی که در ادامه این مبحث باید یاد بگیریم تکمیل مربع است این روش کمک می کند تا بتوانیم چند جمله ایها را به مربع کامل تبدیل کنیم مثلا [math]{x^2} + bx + c[/math] را می توان به صورت زیر به مربع کامل تبدیل کرد و سپس به روش تبدیل به انتگرال معکوس مثلثاتی حل کرد:
[math]{x^2} + bx + c = {x^2} + bx + {(\frac{b}{2})^2} – {(\frac{b}{2})^2} + c = {(x + \frac{b}{2})^2} – – {(\frac{b}{2})^2} + c[/math]
مثال 2:انتگرال [math]\int {\frac{{dx}}{{{x^2} – 4x + 7}}}[/math]
ابتدا عبارت زیر کسر داخل انتگرال را به صورت مربع می نویسیم :
[math]{x^2} – 4x + 7 = ({x^2} – 4x + 4) – 4 + 7 = {(x – 2)^2} + 3 = {u^2} + {a^2}[/math]
اکنون با توجه به مربع بدست امده بالا [math]u=x-2,a=a = \sqrt 3[/math]
[math]\int {\frac{{dx}}{{{x^2} – 4x + 7}}} = \int {\frac{{dx}}{{{{(x – 2)}^2} + 3}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \arctan \frac{{x – 3}}{{\sqrt 3 }} + c[/math]
چند مثال دیگر برای یاد گیری بهتر حل می کنیم :
[math]6)\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {1 – 2x – {x^2}} }}}[/math]
با استفاده از روش تکمیل مربع داریم :
[math]1 – 2x – {x^2} = 1 – \left( {{x^2} + 2x} \right) = 2 – \left( {{x^2} + 2x + 1} \right)\\= 2 – {\left( {x + 1} \right)^2} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} – {\left( {x + 1} \right)^2}[/math]
اکنون تغییر متغیر [math]u = x + 1 \to du = dx[/math]
[math]\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {1 – 2x – {x^2}} }}} = \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} – {{\left( {x + 1} \right)}^2}} }}} = \int {\frac{{du}}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} – {u^2}} }}} \\= \arcsin \frac{u}{{\sqrt 2 }} + C = \arcsin \frac{{x + 1}}{{\sqrt 2 }} + C[/math]
[math]7)\int {\frac{{x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}dx}[/math]
با روش تکمیل مربع داریم :
[math]{x^2} + x + 1 = {x^2} + x + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^2}[/math]
همچینی صورت کسر را می توان به صورت زیر نوشت :
[math]x + 1 = \left( {x + \frac{1}{2}} \right) + \frac{1}{2}[/math]
اکنون انتگرال را به صورت زیر بازنویسی می کنیم :
[math]\int {\frac{{x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}dx} = \int {\frac{{\left( {x + \frac{1}{2}} \right) + \frac{1}{2}}}{{{x^2} + x + 1}}dx} = \int {\frac{{x + \frac{1}{2}}}{{{x^2} + x + 1}}dx} + \frac{1}{2}\int {\frac{{dx}}{{{x^2} + x + 1}}} \\= \frac{1}{2}\int {\frac{{\left( {2x + 1} \right)dx}}{{{x^2} + x + 1}}} + \frac{1}{2}\int {\frac{{dx}}{{{{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}}} \\= \frac{1}{2}\int {\frac{{d\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{{x^2} + x + 1}}} + \frac{1}{2}\int {\frac{{d\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}}{{{{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}}} \\= \frac{1}{2}\ln \left| {{x^2} + x + 1} \right| + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}}\arctan \frac{{x + \frac{1}{2}}}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}} + C\\= \frac{1}{2}\ln \left( {{x^2} + x + 1} \right) + \frac{1}{{\sqrt 3 }}\arctan \frac{{2x + 1}}{{\sqrt 3 }} + C[/math]
[math]8)\int {\frac{{dx}}{{{e^x} + {e^{ – x}}}}}[/math]
صورت و مخرج کسر را در [math]{e^x}[/math] ضرب می کنیم :
[math]\frac{1}{{{e^x} + {e^{ – x}}}} \to \frac{{{e^x}}}{{1 + {e^{2x}}}}[/math]
اکنون با استفاده از تغییر متغیر داریم [math]u = {e^x} \to du = {e^x}dx[/math] در نتیجه :
[math]\int {\frac{{dx}}{{{e^x} + {e^{ – x}}}}} = \int {\frac{{{e^x}dx}}{{1 + {e^{2x}}}} = \int {\frac{{du}}{{1 + {u^2}}}} } \\= \arctan u + c = \arctan {e^x} + c[/math]
[math]9)\int {\frac{{3{x^3} – 2}}{{{x^2} + 4}}dx}[/math]
صورت را بر مخرج تقسیم می کنیم :
[math]\int {\frac{{3{x^3} – 2}}{{{x^2} + 4}}dx} = \int {(3x – \frac{{12x + 2}}{{{x^2} + 4}})dx} \\ = \int {3xdx – 6\int {\frac{{2xdx}}{{{x^2} + 4}} – 2\int {\frac{{dx}}{{{x^2} + 4}}} } }[/math]
دقت کنید که حاصل انتگرال [math]\int {\frac{{2xdx}}{{{x^2} + 4}}}[/math] طبق روش انتگرال لگاریتم که [math]\int {\frac{{u’}}{u}} dx = \ln |u| + c[/math] محاسبه می شود که در درس انتگرال لگاریتم به طور مفصل توضیح دادیم پس :
[math]\int {3xdx – 6\int {\frac{{2xdx}}{{{x^2} + 4}} – 2\int {\frac{{dx}}{{{x^2} + 4}}} } } \\ = \frac{3}{2}{x^2} – 6\ln |{x^2} + 4| – \arctan \frac{x}{2} + c[/math]