کاربرد مشتق 6-آزمون مشتق اول در تعیین نقاط اکسترمم نسبی برای توابع پیوسته و مشتق پذیر
آزمون مشتق اول در تعیین نقاط اکسترمم نسبی برای توابع پیوسته و مشتق پذیر
اگر تابع مورد نظر ما تابعی پیوسته و مشتق پذیر باشد ، در اینصورت پیدا کردن نقاط اکسترمم آن به سادگی امکان پذیر است .
ما از بخش های قبلی دانستیم که اگر تابع مشتق پذیر باشد حتما پیوسته هم خواهد بود
نمودار بالا نشان می دهد که اگر تابع ما مشتق پذیر باشد آنگاه پیوسته است و حتما اکسترمم نسبی هم دارد .
پس اگر تابع f مورد نظر ما در یک بازه باز (a,b) پیوسته باشد و نقطه c متعلق به این بازه باشد و این نقطه یک نقطه بحرانی تابع باشد (یعنی مشتق تابع در نقطه c برابر صفر می شود یا c ریشه معادله مشتق است و یا مشتق در آن نقطه وجود ندارد ).در این صورت :
قضیه 1: فرض کنید تابع f ما در بازه باز [math](a,b)[/math] پیوسته باشد و و نقطه c متعلق به این بازه باشد و این نفطه یک نقطه بحرانی تابع باشد در این صورت :
1-اگر در همسایگی چپ( یعنی در سمت چپ ) نقطه c مشتق تابع [math] f'(c) > 0 [/math]مشتق مثبت باشد و در سمت راست نقطه c مشتق تابع [math] f'(c) < 0 [/math]مشتق منفی باشد آنگاه می توان گفت که نقطه c یک ماکزیمم نسبی تابع است .یعنی تابع را در جدول تعیین علامت مطابق شکل زیر خواهیم داشت .
به تعبیری خلاصه می توان گفت : ) ماكزيمم نسبي است اگر [math] f'(c) [/math] از مثبت به منفي تغيير علامت دهد.
2-اگر در همسایگی چپ( یعنی در سمت چپ ) نقطه c مشتق تابع [math] f'(c) < 0 [/math] مشتق منفی باشد و در سمت راست نقطه c مشتق تابع [math] f'(c) > 0 [/math] مشتق مثبت باشد آنگاه می توان گفت که نقطه c یک مینیمم نسبی تابع است .یعنی تابع را در جدول تعیین علامت مطابق شکل زیر خواهیم داشت .
به تعبیری خلاصه می توان گفت : ) مینیمم نسبي است اگر [math] f'(c) [/math] از منفي به مثبت تغيير علامت دهد.
پس در روش تعيين اكسترمم نسبي با استفاده از آزمون مشتق اول شما
1-تابع مشتق گرفته،
2-نقاط بحراني را يافته
3- استفاده از جدول تغييرات وضعيت [math] f'(c) [/math] را در اطراف نقاط بحراني مشخص ميكنيم.
مثال 1:نقاط ماکسیمم و مینیمم نسبی تابع [math] f(x) = \frac{x}{2} – \sin x [/math] را در بازه [math] (0,2\pi ) [/math] بدست آورید .
ابتدا از تابع مشتق می گیریم و ریشه های مشتق را حساب می کنیم یعنی نقطه بحرانی تابع را بدست می آوریم :
[math] f(x) = \frac{x}{2} – \sin x \to f'(x) = \frac{1}{2} – \cos x\\f'(x) = 0 \to \frac{1}{2} – \cos x = 0 \to \cos x = \frac{1}{2} \to \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{\pi }{3}}\\{x = \frac{{5\pi }}{3}}\end{array}} \right\} [/math]
ریشه های مشتق در بازه داده شده را حساب کردیم اکنون جدول تعیین علامت این ریشه ها را حساب می کنیم تا ببینیم چه نوع اکسترمم نسبی داریم :
نکته مهم : برای تعیین علامت مشتق تابع [math] f'(x) [/math] به این شکل عمل می کنیم که بین هر دو نقطه بحرانی تابع [math]f[/math] نقطه ای را انتخاب می کنیم و مقدار [math] f'(x) [/math] را در این نقطه بدست می آوریم .اگر مثبت بود در تمام آن بازه ، مثبت و اگر منفی بود ، در تمام آن باز منفی می گذاریم .
مثلا در مورد بازه [math] (0,\frac{\pi }{3}) [/math] عدد [math] \frac{\pi }{4} [/math] را انتخاب می کنیم :
[math] f'(x) = \frac{1}{2} – \cos x \to f'(\frac{\pi }{4}) = \frac{1}{2} – \cos \frac{\pi }{4} = \frac{1}{2} – \frac{{\sqrt 2 }}{2} < 0 [/math]
پس در تمام بازه [math] (0,\frac{\pi }{3}) [/math] داریم که [math]f'(x)<0[/math] . در مورد سایر بازه ها به همین روش عمل می کنیم .
مثال2 : نقاط اكسترمم نسبي تابع [math]f(x) = \sqrt[3]{{{x^3} – {x^2}}}[/math]را مشخص كنيد
مثال 3: مشتق تابعی به صورت [math] f'(x) = (1 – {x^2})({x^2} + x) [/math] نقاط اکسترمم آن را بدست آورید .
چون مشتق داده شده است ابتدا ریشه های مشتق را حساب می کنیم و سپس تعیین علامت می کنیم:
[math] f'(x) = (1 – {x^2})({x^2} + x)\\f'(x) = (1 – x)(1 + x)(x)(x + 1) = 0 \to \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\x = – 1\\x = 0\end{array} \right\} [/math]
تابع دو نقطه اکسترمم دارد یکی در [math]x=0[/math] و دیگری در [math]x=1[/math]
است .
نكته: مهم توجه کنیدکه قضیه آزمون مشتق اول فقط براي توابع پیوسته ومشتقپذيربه کارمیرود.
در توابع ناپیوسته ممکن است تابعی در یک نقطه اکسترمم نسبی داشته باشد اما مشتق در همسایگی آن نقطه تغییر علامت نمی دهد و ممکن است در هر دو طرف همواره صعودی یا نزولی باشد