روشهای انتگرال گیری با استفاده از فرمولهای انتگرال
از این درس به بعد ما با تکنیکهای مفصل تری از روشهای انتگرال گیری آشنا خواهیم شد اما قبل از آشنایی با این روشها مجددا مروری خواهیم داشت بر مهمترین فرمولهای اساسی انتگرال گیری که در درسهای گذشته با آنها آشنا شدیم.
اولین سوالی که مطرح می شود اینکه در چه نوع توابعی را می توان با استفاده از جدول انتگرال گیری مستقیما انتگرال گیری کرد؟
جواب توابع زیر :
| [math]\int {{u^n}du}[/math],[math]\int {\frac{{du}}{u}}[/math] | توانها |
| [math]\int {{e^u}du} ,\int {{a^u}du}[/math] | توابع نمایی |
| [math]\int {\sin udu} ,\int {\cos udu}[/math] | توابع مثلثاتی |
| [math]\int {\frac{{du}}{{\sqrt {1 – {u^2}} }}} ,\int {\frac{{du}}{{1 + {u^2}}},\int {\frac{{du}}{{u\sqrt {{u^2} – 1} }}} }[/math] | توابع جبری |
ابتدا مثالهایی که مربوط به فرمولها 1 تا 4 است را با حل می کنیم :
[math]1)\int {{x^2}dx} = \frac{2}{5}{x^{\frac{5}{2}}} + c[/math]
[math]4)\int {({x^{ – 2}} + x – 3{x^2})} dx= \frac{3}{4}\sqrt[3]{{{x^4}}} – \frac{2}{3}\sqrt {{x^3}} + c[/math]
نکته 1:اگر انتگرال داخل پرانتر و به توان عددی باشد که در مشتق داخل پرانتر ضرب شده باشد اینجا از قاعده الگوی مرکب استفاده می کنیم :
[math]\int {f(g(x)).g'(x)dx = F(g(x)) + c}[/math]
در واقع ما اینجا از ترکیب فرمولهای 1 تا 4 به اضافه قاعده الگوی مرکب که در درس انتگرال گیری جانشانی توضیح دادیم استفاده می کنیم .
[math]6)\int {{{({x^2} + 1)}^7}2xdx}[/math]
[math]7)\int {{{({x^2} + 3)}^3}xdx}=\frac{1}{2}.\frac{1}{4}{({x^2} + 3)^4} + c[/math]
نکته 2:در حالتهایی که حاصلضرب در چند جمله ای هستند اول حاصلضرب را حساب می کنیم و سپس از جملات حاصل شده انتگرال می گیریم در انتگرال ما قاعده ضرب انتگرالها نداریم برای همین ابتدا باید حاصلضربها را حساب کنیم و سپس انتگرال بگیریم :
[math]8)\int {(2x + 1)(x + 1)dx} = \frac{2}{3}{x^3} + {x^2} + \frac{1}{2}{x^2} + x + c[/math]
[math]9)\int {\sqrt x {{(\sqrt x + 1)}^2}dx} = \frac{2}{5}\sqrt {{x^5}} + {x^2} + \frac{2}{3}\sqrt {{x^3}} + c[/math]
نکته 4: در انتگرال گیری قانون تقسیم انتگرالها را نداریم لذا در چنین مواردی باید عبارت را ساده کنیم و سپس انتگرال آن را حساب کنیم :
[math]10)\int {\frac{{{x^2} – 1}}{{x + 1}}dx} = \frac{{{x^2}}}{2} – x + c[/math]
[math]11)\int {\frac{{{x^2} – x}}{{\sqrt x – 1}}dx} \\\int {\frac{{x(x – 1)}}{{\sqrt x – 1}}} dx = \frac{2}{5}{x^{\frac{5}{2}}} + \frac{1}{2}{x^2} + c[/math]
مثالهای بیشتر :
[math]12)\int {\frac{1}{{{{(5 – 2x)}^2}}}dx} = \frac{1}{{2(5 – 2x)}} + c[/math]
[math]13)\int {\frac{{x – 1}}{{{{({x^2} – 2x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}}} dx= {({x^2} – 2x + 3)^{\frac{1}{2}}} + c[/math]
[math]14)\int {\frac{1}{{\sqrt[3]{{x + 1}}}}} dx[/math]
[math]15)\int {x\sqrt {{x^2} – 15} dx}[/math]
[math]16)\int {\sqrt[3]{{3{x^3} – 2{x^2}}}dx}[/math]
[math]17)\int {\frac{{\sqrt {x – \sqrt x } }}{{\sqrt[4]{{{x^3}}}}}dx}[/math]
برای دیدن راه حلهای انتگرالهای بالا و نکات حل این انتگرالها به لینک زیر مراجعه کنید :
روشهای انتگرال گیری با استفاده از فرمولهای انتگرال
