روشها و تکنیکهای انتگرال گیری-انتگرال گیری جانشانی
آنچه که تاکنون در مورد انتگرال فراگرفتیم عبارت بود از انتگرال بر اساس قوانین پایه و فرولهای مشخص است ، اما ما برای محاسبه انتگرالها نمی توانیم همیشه از فرمولها از پیش تعریف شده استفاده کنیم ، چرا که دنیای انتگرال دنیای پیچیده ای است و عبارتهای انتگرال گیری گاهی ممکن است بیش از اندازه پیچیده شود ، بر این اساس ما باید روشها و تکنیکهای انتگرال گیری را نیز بکار ببریم ،این روشها به ما کمک می کند که انتگرال پیچیده را به صورتهایی ساده تر تبدیل کنیم و آنگاه می توانیم به راحتی انتگرال را محاسبه کنیم ، یکی از این روشها روش تغییر متغیر یا روش جانشانی است .این روش به دو قسمت قابل انجام است .در روش اول ما با استفاده از فرمول تابع مرکب و مشتق آن می توانیم انتگرال را حساب کنیم .
مفهوم انتگرال گیری جانشانی با استفاده از الگوی تابع مرکب
قبل از توضیح اصل مطلب انتگرال یادآوری می کنیم که ما می دانیم که انتگرال و مشتق معکوس یکدیگر بودند .برای همین روش تغییر متغیر در واقع معکوس مشتق تابع مرکب است . می دانیم که مشتق تابع مرکب یا زنجیره ای به صورت زیر بود :
[math]\frac{d}{{dx}}\left[ {F(g(x))} \right] = F'(g(x)).g(x)[/math]
پس از تعریف انتگرال نامعین که در واقع معکوس مشتق بود خواهیم داشت که :
[math]\int {F'(g(x)).g(x)dx = F(g(x)) + C}[/math]
چون F معكوس مشتق تابع f مي باشد . [math]F’ = f[/math] عبارت زیر را خواهیم داشت :
[math]\int {f\left( {g\left( x \right)} \right)g’\left( x \right)dx} {\rm{ }} = {\rm{ }}F\left( {g\left( x \right)} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}C[/math]
اینجا با جایگزین کردن [math]u=g(x)[/math] و [math]du = g'(x)dx[/math] خواهيم داشت :
[math]\int {f(u)du = F(u) + C}[/math]
دقت کنید که در تابع مرکب ما یک تابع بیرونی f داریم و یک تابع درونی g داریم که مشتق این تابع درونی نیز داده شده است مانند فرم زیر :
روش انتگرال گیری جانشانی یا تغییر متغیر
هر گاه در انتگرال با عبارتی مواجه شدیم که بصورت یک تابع مرکب و یک مشتق از پارامتر آن باشد ،می توان از این روش استفاده کرد .بصورت زیر:
از عبارت بالا این را می فهمیم که در این روش تابع [math]f(x)[/math] اینجا همان تابعی خواهد بود که باید از آن مشتق گرفته شود و اما تابع [math]g(x)[/math] تابعی است که بصورت پارامتر تابع [math]f(x)[/math] و علاوه براین مشتق تابع [math]g(x)[/math] هم وجود دارد پس آنچه باید تغییر پیدا کند همان تابع [math]g(x)[/math] است .مثال پایین را ببینید :
ببینید در مثال بالا تابع [math]f(x)=cos[/math] و تابع [math]g(x)[/math] برابر است با [math]x^2[/math] که مشتق آن برابر با [math]2x[/math] می باشد
پس الان فهمیدم که چگونه این توابع تفکیک می شوند و چه ارتباطی با هم دارند پس حالت کلی انتگرال بصورت زیر خواهد شد:
الان مثال بالا را با همان روش انتگرال جانشانی حل می کنیم تا مطلب را بهتر متوجه شویم :
[math]\int \cos u du=\sin u+c[/math]
و چون [math]u=x^2[/math] پس خواهیم داشت که :
[math] \sin (x^2) +c[/math]
اکنون که روش انتگرال گیری جانشانی و مفهوم آن را فرا گرفتیم برای فهم بهتر مطلب دو مثال را با هم حل می کنیم تا بهتر متوجه مطلب بشوید
مثال 1: انتگرال [math]\int \frac{x}{x^2+1}dx[/math]را محاسبه کنید .
ببینید نکته ای که در این انتگرال وجود دارد این است که شما همیشه همان حالت کلی را نخواهید داشت ، یعنی حتما تابع و مشتق آن مشخص نیست بلکه ممکن است نیاز باشد در عددی ضرب یا تقسیم و یا کمی تغییرات ایجاد کنید تا همان فرم روش جانشانی حاصل شود مثلا در این مثال باید انتگرال را بصورت زیر تبدیل کنیم :
[math]\int \frac{x}{x^2+1}dx=\frac{1}{2}\int \frac{2x}{x^2+1}dx[/math]
پس با روش جانشانی بصورت زیر خواهد بود
[math]u=x^2+1\Rightarrow du=2xdx[/math]
[math]\frac{1}{2}\int \frac{1}{u}du=\frac{1}{2}\ln u+c[/math]
[math]\frac{1}{2}\ln (x^2+1)+c[/math]
به طور کلی روش انتگرال گیری با تعویض متغیر به ترتیب زیر محاسبه می شود:
مرحله 1:ابتدا یک تغییر متغیر مانند [math]u=g(x)[/math] انتخاب مي كنيم . معمولا برای این کار تابع داخلی یک تابع مرکب را U فرض مي كنيم مثلا در عباراتی مانند [math]\sqrt {2x – 1}[/math] تابع داخلی ما [math]2x-1[/math] است . و یا در عبارتی مانند [math]{\sin ^3}x[/math] تابع داخلی ما [math]sinx[/math] است .
مرحله 2 : [math]du = g'(x)dx[/math] را محاسبه می کنیم .
مرحله 3:باید تمام تابع زیر نماد انتگرال را بر حسب u بدست آوریم .یعنی انتگرال را به شکل [math]\int {f(u)du}[/math] در آوریم.
مرحله 4:انتگرال حاصل شده مرحله قبل را حساب کنید.
مرحله 5: به جای u عبارت [math]g(x)[/math] را قرار می دهیم ،و به این ترتیب جواب نهایی را بر حسب x مي نویسیم.
مثال 2 : انتگرال [math]\int (x+1)^3dx[/math] را بدست آورید.
[math]\int (x+1)^3dx=\int (x+1)^3 \times 1 dx[/math]
مرحله اول [math]u=g(x)[/math] که به صورت زیر است:
[math]u=x+1[/math]
مرحله دوم مشتق عبارت مرحله 1 را حساب می کنیم:
[math]u = x + 1 \to du = dx[/math]
مرحله سوم کل عبارت زیر انتگرال را بر حسب u می نویسیم :
[math]\int (u)^3du[/math]
مرحله 4:انتگرال حاصل شده مرحله قبل را محاسبه می کنیم:
[math]\int (u)^3du=\frac{u^4}{4}+c[/math]
مرحله 5: به جای u عبارت [math]g(x)[/math] را قرار می دهیم ،و به این ترتیب جواب نهایی را بر حسب x مي نویسیم.
[math]\frac{(x+1)^4}{4}+c[/math]
مثال 3: انتگرال [math]\int {\sqrt {2x – 1} dx}[/math] را حساب کنید.
مرحله 1:
[math]u=2x-1[/math]
مرحله 2:
[math]du=2dx[/math]
مرحله 3:
[math]\int {\sqrt {2x – 1} dx} = \int {\sqrt u } (\frac{{du}}{2})[/math]
مرحله 4: محاسبه انتگرال
[math]\int {\sqrt u } (\frac{{du}}{2}) = \frac{1}{2}\int {{u^{\frac{1}{2}}}} du = \frac{1}{2}\left( {\frac{{{u^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}}} \right) + c\\ = \frac{1}{3}{u^{\frac{3}{2}}} + c[/math]
مرحله 5:
[math]\frac{1}{3}{u^{\frac{3}{2}}} + c \to \frac{1}{3}{(2x – 1)^{\frac{3}{2}}} + c[/math]
تمرینات و مثالهای حل شده انتگرال گیری به روش جانشانی
داداش من دانشگاه تهران درس ميخونم هيچي اونجا نفهميدم اينجا تازه دوزاريم اوفتاد فقط خواستم بگم خيلي باحالي