تمرینات بخش معادلات مثلثاتی -بررسی چند تست
پیش نیاز بحث
3-حل معادله تانژانت و کتانژانت
4-تفاضل و مجموعه زاویای مثلثاتی
برای حل یک معادله مثلثاتی بایستی یکی از عبارت زیر را داشته باشیم :
[math] Sinx = Sin\alpha [/math] | [math] Cosx = Cos\alpha [/math] | [math] \tan x = \tan \alpha [/math] | [math] Cotx = Cot\alpha [/math] |
معمولا در تست ها و سوالهای آزمونها ،معادلات به این شکل نیستند و بایستی ابتدا از طریق روابط ذکر شده در مثلثات عبارتهای مثلثاتی را ساده کنیم و به یکی از چهار حالت بالا برسیم :
مجموعه جواب |
معادلات به شکل |
[math] {x_1} = 2k\pi + \alpha \\{x_2} = (2k + 1)\pi – \alpha [/math] |
[math] Sinx = Sin\alpha [/math] |
[math] {x_1} = 2k\pi + \alpha \\{x_2} = 2k\pi – \alpha [/math] |
[math] Cosx = Cos\alpha [/math] |
[math] x = k\pi + \alpha [/math] |
[math] \tan x = \tan \alpha [/math] |
[math] x = k\pi + \alpha [/math] |
[math] Cotx = Cot\alpha [/math] |
تمامی 10 تمرین ذکر شده زیر سوالات کنکوری سالهای پیش هستند که با اندکی تغییر اینجا مورد بحث قرار می دهیم.
نکته 1:برای یافتن جواب های یک معادله در یک بازه ابتدا جواب کلی معادله را با حل معادله می یابیم سپس به k مقادیر مختلف می دهیم و جوابها را در بازه مورد نظر بدست می آوریم .
تمرین 1:جوابهای معادله [math] 2\sin (2x – \frac{\pi }{3}) – 1 = 0 [/math] را در بازه [math] \left[ {0,2\pi } \right] [/math] بدست اورید.
پاسخ:
[math] 2\sin (2x – \frac{\pi }{3}) – 1 = 0 \Rightarrow 2\sin (2x – \frac{\pi }{3}) = 1 \Rightarrow \sin (2x – \frac{\pi }{3}) = \frac{1}{2} = \sin \frac{\pi }{6}\\\\\left\{ \begin{array}{l}2x – \frac{\pi }{3} = 2k\pi + \frac{\pi }{6}\\2x – \frac{\pi }{3} = 2k\pi + \pi – \frac{\pi }{6}\end{array} \right\} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x = 2k\pi + \frac{\pi }{6} + \frac{\pi }{3} = 2k\pi + \frac{{3\pi }}{6} = 2k\pi + \frac{\pi }{2}\\2x = 2k\pi + \pi – \frac{\pi }{6} + \frac{\pi }{3} = 2k\pi + \pi + \frac{\pi }{6} = 2k\pi + \frac{{7\pi }}{6}\end{array} \right\}\\\\\left\{ \begin{array}{l}2x = 2k\pi + \frac{\pi }{2} \to x = k\pi + \frac{\pi }{4}\\2x = 2k\pi + \frac{{7\pi }}{6} \to x = k\pi + \frac{{7\pi }}{{12}}\end{array} \right\}\\\\ [/math]
اکنون با جایگزاری مقادیر صحیح به جای k جوابهای معادله را در بازه [math] \left[ {0,2\pi } \right] [/math] بدست می اوریم .
[math]1[/math] |
[math]0[/math] |
K |
[math] \pi + \frac{\pi }{4},\pi + \frac{{7\pi }}{{12}}[/math] |
[math]\frac{\pi }{4},\frac{{7\pi }}{{12}}[/math] |
x |
نکته 2:اگر طرفین معادله مثلثاتی هم جنس باشند ولی یک طرف آن منفی باشد،در مورد سینوس ،تانژانت و کتانژانت ,علامت منفی را به داخل کمان می بریم .ولی در مورد کسینوس ،علامت منفی را حذف می کنیم و زاویه [math] \alpha [/math] را به [math] \pi – \alpha [/math] تبدیل می کنیم.
تمرین 2:معادلات مثلثاتی زیر را حل کنید.
[math] 1)\sin 3x + \sin x = 0 [/math]
پاسخ:
طبق نکته 2 داریم :
[math] \sin 3x + \sin x = 0 \Rightarrow \sin 3x = – \sin x = \sin ( – x) [/math]
جواب به صورت زیر است
[math] \left\{ \begin{array}{l}3x = 2k\pi – x \to 4x = 2k\pi \to x = \frac{{k\pi }}{2}\\3x = 2k\pi + (\pi – ( – x)) \to 2x = 2k\pi + \pi \to x = k\pi + \frac{\pi }{2}\end{array} \right\} [/math]
از اجتماع این دو جواب ، جواب نهایی معادله ما [math] \frac{{k\pi }}{2} [/math] خواهد بود.
[math] 2)\cos 3x + \cos x = 0 [/math]
پاسخ:
طبق نکته 2 داریم :
[math] \cos 3x + \cos x = 0 \Rightarrow \cos 3x = – \cos x = \cos (\pi – x) [/math]
جواب به صورت زیر است
[math] \left\{ \begin{array}{l}3x = 2k\pi + (\pi – x) \to 4x = 2k\pi + \pi \to x = \frac{{k\pi }}{4} + \frac{\pi }{4}\\3x = 2k\pi – (\pi – x) \to 2x = 2k\pi – \pi \to x = k\pi – \frac{\pi }{2}\end{array} \right\} [/math]
نکته 3:در حل بعضی از معادلات با استفاده از کمان های متمم و مکمل می توان دو طرف معادله را به دو نسبت مثلثاتی هم نام تبدیل کنیم و سپس به عنوان یک معادله مثلثاتی ساده حل کنیم.
تمرین 3:جواب کلی معادله [math] Si{n^2}x – Co{s^2}x = Sin(\frac{{3\pi }}{2} + x) [/math] را بدست آورید .
می دانیم که [math] Sin(\frac{{3\pi }}{2} + x) = – \cos x [/math]
و همچنین می دانیم که : [math] Co{s^2}x – Si{n^2}x = Cos2x [/math]پس داریم:
[math] \left\{ \begin{array}{l}Si{n^2}x – Co{s^2}x = \sin (\frac{{3\pi }}{2} + x)\\\sin (\frac{{3\pi }}{2} + x) = – \cos x\\Co{s^2}x – Si{n^2}x = \cos 2x\end{array} \right\} \to – \cos 2x = – \cos x \Rightarrow \cos 2x = \cos x [/math]
پس جواب معادله ساده شده فوق بصورت زیر خواهد بود:
[math] \left\{ \begin{array}{l}2x = 2k\pi + x \Rightarrow x = 2k\pi \\2x = 2k\pi – x \Rightarrow x = \frac{{2k\pi }}{3}\end{array} \right\}\\ [/math]
جواب مشترک ، جواب نهایی ما [math] x = \frac{{2k\pi }}{3} [/math] خواهد بود.
تمرین 4:جواب کلی معادله [math] \tan \frac{x}{2}.\tan \frac{x}{3} = 1 [/math] را حساب کنید.
با استفاده از نکته 3 می توان این تمرین را حل کرد
[math] \tan \frac{x}{2} = \frac{1}{{\tan \frac{x}{3}}} \to = \cot \frac{x}{3} \Rightarrow \tan \frac{x}{2} = \tan (\frac{\pi }{2} – \frac{x}{3})\\\\\frac{x}{2} = k\pi + \frac{\pi }{2} – \frac{x}{3} \Rightarrow \frac{x}{2} + \frac{x}{3} = k\pi + \frac{\pi }{2} \Rightarrow \frac{{5x}}{6} = k\pi + \frac{\pi }{2} \to x = \frac{{6k\pi }}{5} + \frac{{3\pi }}{5} [/math]
تمرین 5:جواب کلی معادله مثلثاتی [math] \sqrt 2 Sin(\frac{\pi }{4} – x) = 1 + Sin(\frac{{5\pi }}{2} + x) [/math] را بدست آورید.
ابتدا با توجه به زوایای متمم می دانیم که [math] Sin(\frac{{5\pi }}{2} + x) = Cosx [/math]
اکنون با استفاده از فرمول جمع دو زاویه
[math] \left\{ \begin{array}{l}Sin(\frac{\pi }{4} – x)\\Sin(a – b) = \sin a\cos b – \cos a\sin b\end{array} \right\} \to \sin \frac{\pi }{4}\cos x – \cos \frac{\pi }{4}\sin x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos x – \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin x\\ [/math]
چون عبارت [math] Sin(\frac{\pi }{4} – x) [/math] در رادیکال 2 هم ضرب شده پس عبارت بدست امده بالا را در رادیکال 2 که ضرب کنیم داریم
[math] \sqrt 2 Sin(\frac{\pi }{4} – x) = \sqrt 2 (\frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos x – \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin x) = \cos x – \sin x [/math]
پس معادله را با توجه به تساویهای بدست امده بصورت زیر حل می کنیم:
[math] \left\{ \begin{array}{l}\sqrt 2 Sin(\frac{\pi }{4} – x) = 1 + Sin(\frac{{5\pi }}{2} + x)\\\sqrt 2 Sin(\frac{\pi }{4} – x) = \cos x – \sin x\\Sin(\frac{{5\pi }}{2} + x) = \cos x\end{array} \right\} \to \cos x – \sin x = 1 + \cos x \Rightarrow \sin x = – 1 [/math]
جواب نهایی که [math] sin x = – 1 [/math] حالت خاصی است که جوابش :
[math] x = 2k\pi – \frac{\pi }{2} [/math]
تمرین 6:جواب کلی معادله [math] Sin(\pi + x)Cos(\frac{\pi }{2} + x) – 2Sin(\pi – x) + 1 = 0 [/math] را بدست آورید.
می دانیم که :
[math] Sin(\pi + x) = – \sin x\\Cos(\frac{\pi }{2} + x) = – \sin x\\Sin(\pi – x) = \sin x [/math]
عبارتهای بالا را در معادله جایگزاری می کنیم:
[math] ( – \sin x)( – \sin x) – 2Sinx + 1 = 0 \Rightarrow Si{n^2}x – Sinx + 1 = 0\\ \Rightarrow {(Sinx – 1)^2} = 0 \Rightarrow Sinx – 1 = 0 \Rightarrow Sinx = 1\\x = 2k\pi + \frac{\pi }{2} [/math]
تمرین 7:جواب کلی معادله[math] \frac{{\sin 3x}}{{\sin x}} = 2{\cos ^2}x [/math] را بدست اورید.
برای حل معادله فوق ابتدا هر دو طرف معادله را در sinx ضرب می کنیم .
[math] \sin 3x = 2\sin x{\cos ^2}x \Rightarrow \sin (2x + x) = 2\sin x{\cos ^2}x\\\left\{ \begin{array}{l}\sin 2x\cos x + \cos 2x\sin x = 2\sin x{\cos ^2}x\\\sin 2x = 2\sin x\cos x\end{array} \right\} \to 2\sin x{\cos ^2}x + \cos 2x\sin x = 2\sin x{\cos ^2}x\\\\ \Rightarrow \cos 2x\sin x = 0 [/math]
دقت کنید که در عبارت نهایی بدست آمده سینوس نباید برابر صفر باشد چون در مخرج معادله اصلی ما سینوس داریم پس سینوس هرگز برابر صفر نمی شود فقط می ماند کسینوس که :
[math] \cos 2x = 0 \Rightarrow 2x = k\pi + \frac{\pi }{2} \to x = \frac{{k\pi }}{2} + \frac{\pi }{4} [/math]
تمرین 8:جواب کلی معادله [math] \sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0 [/math] به شرط [math] x \ne \frac{{k\pi }}{2} [/math] را بدست آورید.
[math] \sin x + \sin 2x + \sin (2x + x) = 0\\\sin x + \sin 2x + \sin 2x\cos x + \sin x\cos 2x = 0\\\sin x(1 + \cos 2x) + \sin 2x(1 + \cos x) = 0\\\sin x(1 + \cos 2x) + 2\sin x\cos x(1 + \cos x) = 0\\\sin x(1 + 2{\cos ^2}x – 1 + 2\cos x + 2{\cos ^2}x) = 0\\2\sin x\cos x(2\cos x + 1) = 0 \Rightarrow \sin 2x(2\cos x + 1) = 0 [/math]
بنابر این جواب نهایی معادله :
[math] \left\{ \begin{array}{l}\sin 2x = 0 \to 2x = 2k\pi \to x = \frac{{k\pi }}{2}\\\cos x = – \frac{1}{2} \to x = 2k\pi \pm \frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right\}\\ [/math]
با توجه به صورت سوال فقط جواب [math] x = 2k\pi \pm \frac{{2\pi }}{3} [/math] قابل قبول است.
تمرین 9:جواب معادله [math] \frac{{\sin 3x + \sin 2x}}{{1 + \cos x}}=0 [/math] را بدست اورید.
چون عبارت کسری است پس اول ریشه کسر را بدست می اوریم .
[math] 1 + \cos x \ne 0 \to \cos x \ne – 1 \Rightarrow x \ne 2k\pi + \pi [/math]
اکنون با توجه به شرط فوق معادله را ساده می کنیم و فقط صورت معادله می تواند برابر صفر شود:
[math] \sin 3x + \sin 2x = 0 \Rightarrow \sin 3x = – \sin 2x = (\sin – 2x) [/math]
پس جواب معادله بصورت زیر است:
قابل قبول است |
[math] 3x = 2k\pi – 2x \Rightarrow x = \frac{{2k\pi }}{5} [/math] |
غیر قابل قبول است چون مخرج را صفر می کند. |
[math] 3x = 2k\pi + \pi + 2x \Rightarrow x = 2k\pi + \pi [/math] |
تمرین 10:جواب کلی معادله [math] \sin 2x\sin 4x + {\sin ^2}x = 1 [/math] را بدست اورید.
)این سوال تست کنکور ریاضی -97 است)
پاسخ:
[math] \sin 2x\sin 4x + {\sin ^2}x = 1\\(2\sin x\cos x)(2\sin 2x\cos 2x) = 1 – {\sin ^2}x = {\cos ^2}x\\(2\sin x\cos x)(4\sin x\cos x\cos 2x) = {\cos ^2}x\\8{\sin ^2}x{\cos ^2}x\cos 2x – {\cos ^2}x = 0\\{\cos ^2}x(8{\sin ^2}x\cos 2x – 1) = 0\\{\cos ^2}x(8{\sin ^2}x(1 – 2{\sin ^2}x) – 1) = 0\\{\cos ^2}x( – 16{\sin ^4}x + 8{\sin ^2}x – 1) = 0\\ – {\cos ^2}x{(4{\sin ^2}x – 1)^2} = 0 [/math]
اکنون می توانیم جواب معادله را حساب کنیم:
[math] \left\{ \begin{array}{l}\cos x = 0 \to x = k\pi + \frac{\pi }{2}\\\sin x = \pm \frac{1}{2} \to x = k\pi \pm \frac{\pi }{6}\end{array} \right\} [/math]
باید جواب مشترک بین این دوتا جواب بدست امده را حساب کنیم .من سعی می کنم ابتدا جوابها را در بازه [math] \left[ {0,2\pi } \right] [/math] بدست بیاریم به جای k مقدار صفر و یک قرار می دهیم .
[math] x = k\pi + \frac{\pi }{2} \to \left\{ \begin{array}{l}k = 0 \to x = \frac{\pi }{2}\\k = 1 \to x = \pi + \frac{\pi }{2} = \frac{{3\pi }}{2}\end{array} \right\}\\x = k\pi + \frac{\pi }{6} \to \left\{ \begin{array}{l}k = 0 \to x = \frac{\pi }{6}\\k = 1 \to x = \pi + \frac{\pi }{6} = \frac{{7\pi }}{6}\end{array} \right\}\\x = k\pi – \frac{\pi }{6} \to \left\{ \begin{array}{l}k = 0 \to x = \frac{\pi }{6}\\k = 1 \to x = \pi – \frac{\pi }{6} = \frac{{5\pi }}{6}\\k = 2 \to x = 2\pi – \frac{\pi }{6} = \frac{{11\pi }}{6}\end{array} \right\} [/math]
ما می توانیم [math] \frac{\pi }{2},\frac{{3\pi }}{2} [/math] را به صورت زیر هم بنویسیم :
[math] \frac{\pi }{2} = \frac{{3\pi }}{6}\\\frac{{3\pi }}{2} = \frac{{9\pi }}{6} [/math]
پس جواب معادله ما زاویه های زیر خواهند بود :
[math] x = \{ \frac{\pi }{6},\frac{{3\pi }}{6},\frac{{5\pi }}{6},\frac{{7\pi }}{6},\frac{{9\pi }}{6},\frac{{11\pi }}{6}\} [/math]
که با توجه به ضریب فرد موجود در صورت کسرها پس فرم عمومی جواب معادله ما بصورت زیر خواهد بود :
[math] \frac{{(2k + 1)\pi }}{6} [/math]