لگاریتم بخش 3-قوانین و قضایای لگاریتم

ما در مطالب قبلی در مورد

تابع لگاریتم 

مفهوم لگاریتم 

انواع لگاریتم 

توضیح دادیم .در این بخش می خواهیم در مورد قوانین لگاریتم صحبت کنیم . یکی از جالبترین و پرکاربردترین قوانین لگاریتم ، لگاریتم ضرب است .

[math]\log _a^{m \times n} = \log _a^m + \log _a^n[/math]

همانطور که در مطلب قبلی گفتیم ، توانها و لگاریتمها با هم در ارتباط هستند  و در واقع می توان گفت که در بسیاری از خصوصیات شبیه هستند .در شکل زیر 4 خاصیت مهم لگاریتم را بررسی می کنیم .

لگاریتم ضرب تبدیل می شود به جمع لگاریتم ها	[math]\log _a^{m \times n} = \log _a^m + \log _a^n[/math]
لگاریتم تقسیم تبدیل می شود به تفریق لگاریتمها	[math]\log _a^{\frac{m}{n}} = \log _a^m – \log _a^n[/math]
لگاریتم معکوس یک عدد	[math]\log _a^{\frac{1}{n}} = – \log _a^n[/math]
توان لگاریتم یک عدد به ضرب لگاریتم تبدیل می شود	[math]\log _a^{{m^r}} = r\log _a^m[/math]

اکنون چند مثال حل می کنیم تا کاربرد آنچه را گفتیم را در عمل مشاهده کنیم .

مثال 1:لگاریتم [math]\log _a^{({{({x^2} + 1)}^4}\sqrt x )} [/math]را حل کنید.

 

[math]\log _a^{({{({x^2} + 1)}^4}\sqrt x )} = \log _a^{{{({x^2} + 1)}^4}} + \log _a^{\sqrt x }[/math]	قانون ضرب لگاریتم
[math]= 4\log _a^{({x^2} + 1)} + \log _a^{\sqrt x }[/math]	قانون توان لگاریتم
[math]= 4\log _a^{({x^2} + 1)} + \log _a^ {x^{\frac{1}{2}}}[/math]	خواص رادیکالها [math]\sqrt x = {x^{\frac{1}{2}}}[/math]
[math] = 4\log _a^{({x^2} + 1)} + \frac{1}{2}\log _a^x[/math]	قانون توان لگاریتم

پس جواب نهایی ما [math] = 4\log _a^{({x^2} + 1)} + \frac{1}{2}\log _a^x[/math]

مثال 2:لگاریتم [math]\log _a^5 + \log _a^x – \log _a^2 [/math]را حل کنید.

با استفاده از قانون ضرب لگاریتم :

[math]\log _a^5 + \log _a^x – \log _a^2 = \log _a^{5 \times x} – \log _a^2 = \log _a^{5x} – \log _a^2[/math]

سپس با استفاده از قانون تقسیم لگاریتم

[math]\log _a^{5x} – \log _a^2 = \log _a^{\frac{{5x}}{2}}[/math]

دو خاصیت مهم لگاریتم

1-لگاریتم عدد 1 در هر مبنایی برابر صفر است [math]\log _a^1 = 0[/math] چون [math]{a^0} = 1[/math]

2-لگاریتم هر عددی در مبنای خود آن عدد برابر 1 است [math]\log _a^a = 1[/math] چون [math]{a^1} = a[/math]

3-با توجه به اینکه [math]\log _{a.b}^{a.b} = 1[/math] است. می توانیم از آن نتیجه جالبی بگیریم :

[math]\log _{a.b}^{a.b} = 1 \to \log _{a.b}^a + \log _{a.b}^b = 1 \Rightarrow \log _{a.b}^a = 1 – \log _{a.b}^b[/math]

مثال 3:با استفاده از قاعده فوق می توان مقادیر لگاریتمی زیر را حساب کرد :

قانون تغییر مبنا در لگاریتم:

شاید این سوال برای شما مطرح بشود که چگونه می توان مبنای یک لگاریتم را عوض کرد ، در جواب برای اینکار به قانون زیر دقت کنید :

همانطور که  می بینید ، برای تغییر مبنا کافیست ، لگاریتم را تبدیل به لگاریتم تقسیم کنیم که لگاریتم عدد مثلا x  به بالا می رود و مبنا مثلا a  به پایین یعنی در مخرج تقسیم قرار می گیرد .

حل چند تمرین

تمرین 1:اگر [math]\log _2^{12} = a[/math] باشد ، [math]{4^{a – 2}}[/math] را بدست آورید .

[math]\log _2^{12} = a \Rightarrow {2^a} = 12\\
{4^{a – 2}} = {({2^2})^{(a – 2)}} = {2^{2a – 4}} = \frac{{{{({2^a})}^2}}}{{16}} = \frac{{{{12}^2}}}{{{4^2}}} = {(\frac{{12}}{4})^2} = {3^2} = 9[/math]

تمرین 2: اگر [math]\log \frac{1}{2} + \log \frac{2}{3} + … + \log \frac{n}{{n + 1}} = – 2[/math] مقدار n را بدست آورید.

با استفاده از خاصست ضرب لگاریتم

[math]\log \frac{1}{2} + \log \frac{2}{3} + … + \log \frac{n}{{n + 1}} = \log (\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times … \times \frac{n}{{n + 1}}) = – 2\\
\Rightarrow \log (\frac{1}{{n + 1}}) = – 2 \Rightarrow – \log (n + 1) = – 2\\
\Rightarrow \log (n + 1) = 2 \Rightarrow n + 1 = {10^2} = 100 \Rightarrow n = 99\\[/math]

تمرین 3: اگر a,b ریشه های معادله [math]{x^2} – 10x + 0.1 = 0[/math] باشند . حاصل [math]\log a + \log b – \log (a + b)[/math] کدام است ؟(سراسری 88)

1)-2

2)-1

3)صفر

4)1

می دانیم که در هر معادله درجه دوم [math]{x^2} + bx + c = 0[/math] حاصل جمع ریشه ها برابر [math] – \frac{b}{a}[/math] و حاصل ضرب ریشه ها برابر [math]\frac{c}{a}[/math] پس اگر a,b ریشه هلی معادله داده شده در مساله باشند داریم :

[math]S = a + b = – \frac{b}{a} = 10\\
P = ab = \frac{c}{a} = 0.1[/math]

در نتیجه :

[math]\log a + \log b – \log (a + b) = \log (ab) – \log (a + b)\\
= \log \frac{{ab}}{{a + b}} = \log \frac{{0.1}}{{10}} = \log \frac{1}{{100}} = – 2[/math]