تابع تانژانت
تابع تانژانت
در بخش قبل در مورد تانژانت و خصوصیات آن صحبت کردیم و مفصل توضیحاتی دادیم . در این مطلب میخواهیم در مورد تابع تانژانت صحبت کنیم.
از مطلب قبلی در مورد (تانژانت ) یاد گرفتیم که به ازای هر زاویه دلخواه در دایره مثلثاتی به جز
[math] \left\{ {x = k\pi + \frac{\pi }{2},k \in Z} \right\} [/math]
عددی حقیقی به عنوان [math] \tan \alpha[/math] داریم و تابعی با ضابطه [math]y=\tan \alpha [/math] مشخص می کند .یعنی تابع تانژانت در نقاطی مانند
[math] …, – \frac{{3\pi }}{2}, – \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2},\frac{{3\pi }}{2},… [/math]
تعریف نشده است .
از بخش تناوب توابع دانستیم که [math]y=\tan \alpha [/math] یک تابع متناوب است که دوره تناوب آن برابر با [math] \pi [/math] است . یعنی ما فقط در فواصل [math] \pi [/math] می توانیم نمودار تابع تانژانت را تعریف کنیم .در فیلم زیر می بینیم که نمودار تابع از صفر تا [math] \pi [/math] بدست می آید و پس از این فاصله عینا با همین روال تکرار می شود یعنی دوره تناوب تابع تانژانت ما [math] \pi [/math] است.
الان گام به گام نحوه بدست آوردن نقاط نمودار تابع تانژانت را بررسی می کنیم . مثلا رفتار و نمودار تابع را در بازه [math] – \frac{\pi }{3} \le \alpha \le \frac{\pi }{3},y = \tan \alpha [/math] را بررسی می کنیم .
در شکل بالا ما نقاطی را در بازه گفته شده بدست آورده ایم و سپس این نقاط را روی محور مختصات رسم کردیم تا نمودار تابع تانژانت به ازای این نقاط را بدست آوریم.
وقتی زاویه ما [math] \frac{\pi }{2} [/math] نزدیک می شود . سینوس به سمت یک می رود و کسینوس به سمت صفر نزدیک می شود یعنی تابع ما به سمت عدد مثبت بسیار بزرگی نزدیک می شود .در واقع میشه گفت تانژانت به سمت بی نهایت می رود .
به همین ترتیب وقتی زاویه ما [math] -\frac{\pi }{2} [/math] نزدیک می شود . سینوس به سمت منفی یک می رود و کسینوس به سمت صفر نزدیک می شود یعنی تابع ما به سمت عدد منفی بسیار کوچک نزدیک می شود .در واقع میشه گفت تانژانت به سمت بی نهایت می رود .
پس با توجه به اینکه تابع دارای دوره تناوب [math] \pi [/math] و در نقاط زیر
[math] …, – \frac{{3\pi }}{2}, – \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2},\frac{{3\pi }}{2},… [/math]
تعریف نشده است دامنه این تابع مجموعه
[math] D = \left\{ {x \in R|x \ne k\pi + \frac{\pi }{2},k \in Z} \right\} [/math]
و برد این تابع مجموعه اعداد حقیقی است . و نمودار آن به شکل زیر است :
جمع بندی خصوصیات تابع تانژانت
1-دامنه این تابع تمام اعداد حقیقی به اشتثنای نقاطی که مضرب فرد [math] \frac{\pi }{2} [/math] باشند.
2-برد آن تمام اعداد حقیقی است .
3-تابع تانژانت یک تابع فرد است .یعنی [math] \tan ( – x) = – \tan x [/math]
4-تابع تانژانت یک تابع متناوب با دوره تناوب [math] \pi [/math]
5-نمودار تابع تانژانت ،محور xها را در نقاطی مانند
[math] …, – 2\pi , – \pi ,0,\pi ,2\pi ,3\pi ,… [/math] قطع می کند اما نمودار y ها را فقط در نقطه صفر قطع می کند.
6-دارای بینهایت مجانب عمودی است.
مثال 1: نمودار [math] y = 2\tan x – 1 [/math] را رسم کنید .
ابتدا دوره تناوب تابع را باید حساب کنیم . می دانیم که دوره تناوب تابع با فرم
[math] f(x) = {\tan ^n}(ax + b) [/math] برابر است با [math] \frac{\pi }{{|a|}} [/math] است پس دوره تناوب تابع مثال ما برابر با [math] \pi [/math] است .
اکنون برای رسم این نمودار ما از خاصیت انتقال ،انبساط و انقباض عمودی و افقی توابع استفاده می کنیم . اگر در مورد این موارد اطلاع ندارید ترجیحا مطالب زیر را حتما مطالعه کنید .
رسم نمودار توابع به کمک انتقال
1-ابتدا نمودار تابع [math]y=tanx[/math] را رسم می کنیم .
2-با استفاده از نمودار فوق اکنون می توانیم نمودار [math]y=2tanx[/math] را رسم کنیم . با استفاده از حالت انبساط و انقباض عمودی این نمودار رسم می شود و چون در فرم [math]y=kf(x)[/math] اگر k بزرگتر از یک باشد یعنی نمودار [math]y=kf(x)[/math] نموداری کشیده تر از نمودار [math]f(x)[/math] است یعنی انبساط داریم . در واقع نمودار [math]y=2tanx[/math] نسبت به نمودار [math]y=tanx[/math] کشیده تر می شود کافیست برای رسم نمودار [math]y=2tanx[/math] عرض نقاط نمودار [math]y=tanx[/math] را در 2 ضرب کنیم .
در نمودار بالا ببینید که نقاط [math] \left( {\frac{\pi }{4},1} \right) [/math] به نقطه
[math] \left( {\frac{\pi }{4},2} \right) [/math] تبدیل می شوند و نقطه
[math] \left( { – \frac{\pi }{4}, – 1} \right) \to \left( { – \frac{\pi }{4}, – 2} \right) [/math]
تبدیل می شوند .
3-اکنون نوبت مرحله نهایی است که [math]y=2tanx-1[/math] را رسم کنیم اینجا ما با یک انتقال عمودی به سمت پایین مواجه هستیم یعنی نمودار [math]y=2tanx [/math] را به اندازه یک واحد بصورت عمودی به سمت پایین انتقال دهیم تا نمودار [math]y=2tanx-1[/math] بدست آوریم .
مثال 2: نمودار [math] y = 3\tan 2x [/math] را رسم کنید .
ابتدا دوره تناوب تابع را باید حساب کنیم . دوره تناوب این تابع برابر با [math] \frac{\pi }{2} [/math]
نمودار ما اینجا نسبت به نمودار [math]y=tanx[/math]دچار انقباض می شود .چون دوره تناوب ما نصف شده است .
1-ابتدا نمودار [math]y=tanx[/math] را رسم می کنیم .
2-اکنون میخواهیم نمودار [math]y=3tanx[/math] را رسم کنیم مشابه حالت قبل نمودار ما دچار کشش می شود و عرضهای آن سه برابر می شوند.
3-اکنون برای رسم نمودار [math]y=3tan2x[/math] دانستیم که دوره تناوب تابع ما نسبت به دوره تناوب تابع [math]y=3tanx[/math]نصف می شود و برابر با [math] \frac{\pi }{2} [/math] در واقع اینجا تابع ما دچار انقباض افقی می شود .در رسم نمودارهای [math]y=f(kx)[/math] در صورتی که k بزرگتر از یک باشد نمودار ما نسبت به [math]y=f(x)[/math] دچار انقباض می شود.