حل معادلات تانژانت و کتانژانت
قبل از مطالعه این بخش حتما در مورد معادلات سینوس و کسینوس مطالعه کنید
1)حل معادله تانژانت
حل معادله [math]tanx=a[/math]
در این مطلب می خواهیم در مورد معادلات تانژانت و کتانژانت صحبت کنیم ابتدا تانژانت را بررسی می کنیم .
همانطور که در نمودار فوق می بینیم صفرهای این تابع یا به عبارتی نقاطی که [math]tanx=0[/math] می شود به صورت زیر است :
[math] x = \{ …, – 2\pi , – \pi ,0,\pi ,2\pi ,…\} [/math]
در واقع نمودار در نقاط فوق محور x ها را قطع می کند.
تابع [math]tanx[/math] را چون به صورت [math] \frac{{\sin x}}{{\cos x}} [/math] می شناسیم ،که این تابع در نقاطی که [math]sinx[/math] صفر است ،تانژانت هم برابر صفر می شود .و در نقاطی که [math]cosx[/math] صفر شود تانژانت تعریف نشده است .پس در نقاط فوق چون سینوس برابر صفر می شود در نتیجه تانژانت هم برابر صفر می شود .فرم کلی نقاطی که تانژانت در آنها صفر می شود را می توان با فرمت [math] x = k\pi [/math] نمایش داد.
نکته : برخلاف سینوس و کسینوس که بین عدد منفی یک و مثبت یک محدود هستند ،تابع تانژانت نامحدود هست .
معادله [math]tanx=a[/math] روی محور تانژانت و دایره مثلثاتی
الان میخواهیم این معادله[math]tanx=a[/math] را روی محور تانژانت بررسی کنیم اول ببینیم محور تانژانت چگونه است .
در نقطه [math]A(1,0)[/math] محوری عمود بر کسینوس رسم می کنیم و جهت مثبت آن را مانند محور سینوس انتخاب می کنیم این محور را محور تانژانت می نامیم. مقدار تانژانت هر زاویه دلخواه روی این محور قابل نمایش است . برای این منظور روی محور تانژانت نقطه D را چنان اختیار می کنیم که [math]AD=a[/math] از نقطه D به مرکز دایره مثلثاتی وصل می کنیم و امتداد می دهیم تا دایره مثلثاتی را در دو نقطه [math]P,P’[/math] قطع کند .
زاویه روبرو به کمان [math]AP[/math] برابر [math] \alpha [/math] و زاویه روبرو به [math]AP’[/math] برابر [math] \pi + \alpha [/math] زاویه های مطلوب برای جواب معادله [math]tanx=a[/math] می باشند . اما این جوابها برای یک دور چرخیدن دور دایره است. و ما می دانیم که دور یک دایره بی نهایت بار می توانیم دوران کنیم . پس با این حساب برای تمام دورهای دایره جواب کلی ما به این صورت خواهد بود که
تمام زاویه های روبرو به کمان [math]AP[/math] به ازای هر مقدار حرکت دور دایره :[math] 2k\pi + \alpha [/math]
و تمام زاویه های روبرو به [math]AP’[/math] ] به ازای هر مقدار حرکت دور دایره برابر[math] 2k\pi + \pi + \alpha [/math]
حالت مشترک بین دو حالت بالا را می توان به صورت مشترک زیر نوشت
[math] \tan x = \alpha \to \tan x = \tan \alpha \to x = k\pi + \alpha [/math]
فیلم زیر تغییرات زاویه تانژانت و مقدار تانژانت روی محور را نشان می دهد ، زاویه 45 درجه را ببینید که در این زاویه تانژانت برابر یک می شود .زاویه 90 درجه بی نهایت است .فیلم را ببینید و تغییرات زاویه و تانزانت را مشاهده کنید:
اکنون روی نمودار تابع تانژانت در نظر می گیریم برای حل معادله ای با فرم [math]tanx=a[/math] یعنی در واقع باید ببینیم نمودار خط [math]y=a[/math] در کجا نمودار [math]tanx[/math] را قطع می کند .پس اگر نمودار خط [math]y=a[/math] و تابع تانژانت را رسم کنیم جوابهای معادله [math]tanx=a[/math] همان طول نقاط تقاطع خط و نمودار تابع تانژانت است مشابه شکل زیر :
در واقع ما برای عدد حقیقی a باید زاویه ای مانند [math] \alpha [/math]را پیدا کنیم که تانزانت این زاویه برابر a شود یعنی [math] \tan \alpha = a [/math] در واقع جواب معادله ما بصورت :
[math] \tan x = a \Rightarrow \tan x = \tan \alpha [/math]
ما باید آلفا را پیدا کنیم.
از دایره مثلثاتی فوق و محور تانژانت شکل زیر رابطه بین [math]x,a[/math] به صورت [math] x = k\pi + \alpha [/math]
حالتهای خاص تانژانت
[math] \tan x = 0 \to x = k\pi \\\tan x = 1 \to x = k\pi + \frac{\pi }{4}\\\tan x = – 1 \to x = k\pi + \frac{{3\pi }}{4} [/math]
مثال 1:معادله [math] \tan x = \tan 5x [/math] را حل کنید.
[math] x = k\pi + 5x \Rightarrow 4x = k\pi \to x = \frac{{k\pi }}{4} [/math]
مثال 2:معادله [math] \tan x – \tan x\sin 2x = 0 [/math] را حل کنید.
[math] \tan x – \tan x\sin 2x = \tan x(1 – \sin 2x) = 0 \to \\\left\{ \begin{array}{l}\tan x = 0 \Rightarrow x = k\pi \\1 – \sin 2x = 0 \to \sin 2x = 1 \to 2x = 2k\pi + \frac{\pi }{2} \to x = k\pi + \frac{\pi }{4}\end{array} \right\} [/math]
2)حل معادله کتانژانت
طبق نمودار کتانژانت نقاط صفر این تابع بصورت زیر است :
[math] x = \{ …, – \frac{{3\pi }}{2}, – \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2},\frac{{3\pi }}{2},\frac{{5\pi }}{2},…\} [/math]
معادله [math]cotx=a[/math] روی محور کتانژانت و دایره مثلثاتی
الان میخواهیم این معادله[math]cotx=a[/math] را روی محور کتانژانت بررسی کنیم اول ببینیم محور کتانژانت چگونه است .
محور کتانژانت موازی محور کسینوسها است اکنون روی محور کتانژانت نقطه E را چنان در نظر می گیریم که [math]BE=a[/math] از E به مرکز دایره وصل می کنیم تا دایره را در نقاط [math]L,L’[/math] قطع کند .
زاویه روبرو به کمان [math]AL[/math] به صورت [math] \beta [/math] و زاویه روبرو به کمان[math]AL’[/math] به صورت [math] \pi + \beta [/math] خواهد بود . اما این جوابها برای یک دور چرخیدن دور دایره است. و ما می دانیم که دور یک دایره بی نهایت بار می توانیم دوران کنیم . پس با این حساب برای تمام دورهای دایره جواب کلی ما به این صورت خواهد بود که
تمام زاویه های روبرو به کمان [math]AL[/math] به ازای هر مقدار حرکت دور دایره :[math] 2k\pi + \beta [/math]
و تمام زاویه های روبرو به [math]AL’[/math] ] به ازای هر مقدار حرکت دور دایره برابر[math] 2k\pi + \pi + \beta [/math]
حالت مشترک بین دو حالت بالا را می توان به صورت مشترک زیر نوشت
[math] \tan x = \alpha \to \tan x = \tan \alpha \to x = k\pi + \alpha [/math]
مثال 3:معادله [math] 3Cotx – \sqrt 3 = 0 [/math] را حل کنید.
[math] 3Cotx – \sqrt 3 = 0 \Rightarrow 3Cotx = \sqrt 3 \to Cotx = \frac{{\sqrt 3 }}{3} = Cot\frac{\pi }{3}\\x = k\pi + \frac{\pi }{3} [/math]
مثال 4:معادله [math] \tan x + \cot x = 2 [/math] را حل کنید.
[math] \tan x + \cot x = 2 \Rightarrow \tan x + \frac{1}{{\tan x}} = 2 [/math]
اکنون دو طرف معادله فوق را در تانژانت ضرب می کنیم :
[math] {\tan ^2}x + 1 = 2\tan x \Rightarrow {\tan ^2}x – 2\tan x + 1 = 0\\{(\tan x – 1)^2} = 0 \Rightarrow \tan x – 1 = 0 \to \tan x = 1 = \tan \frac{\pi }{4}\\x = k\pi + \frac{\pi }{4} [/math]