حد گیری از توابع قدر مطلق
حد گیری از توابع قدر مطلق
اگر تابع داده شده ، شامل قدر مطلق باشد ، ابتدا باید تابع قدر مطلق را تعیین علامت کنیم و قدر مطلق را از بین ببریم و سپس حد تابع را محاسبه کنیم .برای این منظور باید حد چپ و راست را جداگانه محاسبه کنیم .اگر عبارت داخل قدر مطلق مثبت باشد . عینا همان عبارت از داخل قدر مطلق خارج می شود ، و اگر عبارت داخل قدر مطلق منفی شود ، قرینه اش از قدر مطلق بیرون می آید .
مثال 1: حد عبارت زیر را محاسبه کنید.
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{|x|}}{x} = ? \\[/math]
ابتدا حد راست را در نظر می گیریم ، مشخص است که [math]x[/math] به ازای مقادیر بزرگتر از صفر مثبت است پس:
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{|x|}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{x}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} (1) = 1 \\[/math]
سپس حدچپ را در نظر می گیریم ، مشخص است که [math]x[/math] به ازای مقادیر کوچکتر از صفر منفی است پس:
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \frac{{|x|}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \frac{{ – x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} ( – 1) = – 1 \\[/math]
مثال 2 : حد عبارت زیر را محاسبه کنید.
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{|x – 2|}}{{x + 1}} = ?[/math]
ابتدا حد راست را محاسبه می کنیم یعنی [math] x \to {2^ + }[/math]که در واقع نشان دهنده [math]x[/math] های بزرگتر از 2 هستند . به ازای این [math]x[/math] ها علامت [math]x-2[/math] بزرگتر از صفر و مثبت است ، و عین همان عبارت از قدر مطلق خارج می شود.
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{|x – 2|}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{x – 2}}{{x + 1}} = \frac{{{2^ + } – 2}}{{2 + 1}} = \frac{{{0^ + }}}{3} = 0 \\[/math]
حالا حد چپ را محاسبه می کنیم یعنی [math] x \to {2^ – }[/math]که در واقع نشان دهنده [math]x[/math] های کوچکتر از 2 هستند . به ازای این [math]x[/math] ها علامت [math]x-2[/math] کوچکتر از صفر و منفی است ، و قرینه عبارت از قدر مطلق خارج می شود.
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} \frac{{|x – 2|}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} \frac{{ – (x – 2)}}{{x + 1}} = \frac{{ – {2^ – } + 2}}{{{2^ – } + 1}} = \frac{{{0^ – }}}{3} = 0 \\[/math]
نکته مهم درباره تعیین علامت قدر مطلق:
دقت کنید که [math] x \to {a^ + }[/math] به معنای مثبت شدن عبارت داخل قدر مطلق نیست .ممکن است قدر مطلقی داشته باشیم که حد راست آن منفی شود ، همچنین [math] x \to {a^ – }[/math] نیز به معنای منفی شدن عبارت داخل قدر مطلق نیست .