حل معادله مثلثاتی-مقدمه
حل معادله مثلثاتی-مقدمه
برای حل معادلات مثلثاتی بهتر است که شما ابتدا با برخی نقاط معروف دایره مثلثاتی آشنا شوید ،سپس به اصل مطلب یعنی حل معادلات مثلثاتی می پردازیم . این نقاط مه در شکل زیر نشان داده می شوند .
1-نقطه A ابتدا در زاویه صفر قرار دارد . اگر یک دور کامل روی دایره بچرخیم تا زاویه [math] 2\pi [/math] حاصل شود . باز هم انتهای زاویه در نقطه A قرار می گیرد به همین ترتیب اگر دو دور کامل روی دایره بچرخیم تا زاویه [math] 4\pi [/math] حاصل شود باز هم انتهای زاویه در نقطه A قرار خواهد گرفت پس در واقع می توان گفت که انتهای تمام زاویای زیر در نقطه A قرار می گیرد .
[math] 10\pi [/math] | [math] 8\pi [/math] | [math] 6\pi [/math] | [math] 4\pi [/math] | [math] 2\pi [/math] | [math] 0 [/math] | زاویه |
A | A | A | A | A | A | انتهای زاویه |
با توجه به جدول بالا و توضیحاتی که گفته شد می توان گفت که تمام مضربهای زوج [math] \pi [/math] که بصورت [math] 2k\pi [/math] نوشته می شوند روی نقطه A قرار می گیرند دقت کنید که k عددی صحیح است.پس خواهیم داشت
نقطه A=[math] 2k\pi [/math]
2- نقطه B ابتدا در زاویه [math] \frac{\pi }{2} [/math] قرار دارد . اگر یک دور کامل روی دایره بچرخیم تا زاویه [math] 2\pi+\frac{\pi }{2} [/math] حاصل شود . باز هم انتهای زاویه در نقطه B قرار می گیرد به همین ترتیب اگر دو دور کامل روی دایره بچرخیم تا زاویه [math] 4\pi+\frac{\pi }{2} [/math] حاصل شود باز هم انتهای زاویه در نقطه B قرار خواهد گرفت پس در واقع می توان گفت که انتهای تمام زاویای زیر در نقطه B قرار می گیرد .
[math] 10\pi+\frac{\pi }{2} [/math] | [math] 8\pi+\frac{\pi }{2} [/math] | [math] 6\pi+\frac{\pi }{2} [/math] | [math] 4\pi+\frac{\pi }{2} [/math] | [math] 2\pi+\frac{\pi }{2} [/math] | [math] \frac{\pi }{2} [/math] | زاویه |
B | B | B | B | B | B | انتهای زاویه |
پس می توان گفت اگر مضارب زوج [math] \pi [/math] را با [math] \frac{\pi }{2} [/math] جمع کنیم روی نقطه B قرار خواهیم گرفت و می نویسیم:
نقطه B= [math] 2k\pi + \frac{\pi }{2} [/math]
3- نقطه C ابتدا در زاویه [math] \pi [/math] قرار دارد . اگر یک دور کامل روی دایره بچرخیم تا زاویه [math] 2\pi+\pi [/math] حاصل شود . باز هم انتهای زاویه در نقطه C قرار می گیرد به همین ترتیب اگر دو دور کامل روی دایره بچرخیم تا زاویه [math] 4\pi+\pi [/math] حاصل شود باز هم انتهای زاویه در نقطه C قرار خواهد گرفت پس در واقع می توان گفت که انتهای تمام زاویای زیر در نقطه C قرار می گیرد .
[math] 11\pi [/math] | [math] 9\pi [/math] | [math] 7\pi [/math] | [math] 5\pi [/math] | [math] 3\pi [/math] | [math] \pi [/math] | زاویه |
C | C | C | C | C | C | انتهای زاویه |
پس تمام مضارب فرد [math] \pi [/math] که به صورت [math] (2k + 1)\pi [/math] یا بصورت
[math] 2k\pi + \pi [/math] روی نقطه C قرار می گیرند بنابر این نقطه C بصورت زیر نشان می دهیم
[math] 2k\pi + \pi [/math]
4- نقطه D ابتدا در زاویه [math] 2\pi – \frac{\pi }{2} [/math] قرار دارد . اگر یک دور کامل روی دایره بچرخیم تا زاویه [math] 4\pi – \frac{\pi }{2} [/math] حاصل شود . باز هم انتهای زاویه در نقطه D قرار می گیرد به همین ترتیب اگر دو دور کامل روی دایره بچرخیم تا زاویه [math] 6\pi – \frac{\pi }{2} [/math] حاصل شود باز هم انتهای زاویه در نقطه D قرار خواهد گرفت پس در واقع می توان گفت که انتهای تمام زاویای زیر در نقطه D قرار می گیرد .
[math] 12\pi – \frac{\pi }{2} [/math] | [math] 10\pi – \frac{\pi }{2} [/math] | [math] 8\pi – \frac{\pi }{2} [/math] | [math] 6\pi – \frac{\pi }{2} [/math] | [math] 4\pi – \frac{\pi }{2} [/math] | [math] 2\pi – \frac{\pi }{2} [/math] | زاویه |
D | D | D | D | D | D | انتهای زاویه |
پس می توان گفت نقطه D به صورت :[math] 2k\pi – \frac{\pi }{2} [/math]
اینجا ما فقط به ازای مقادیر مثبت K زاویای را بررسی کردیم . در واقع K می تواند برای همه نقاط بالا منفی نیز باشد .یعنی
الف)برای تمام نقاط انتهای A یا C می توان مقادیر زیر را نیز در نظر گرفت
[math] x = k\pi [/math]
.. | [math]3[/math] | [math]2[/math] | [math]1[/math] | [math]0[/math] | [math]-1[/math] | [math]-2[/math] | [math]-3[/math] | [math] k \in Z [/math]
|
[math] x = 3\pi [/math]
|
[math] x = \pi [/math]2
|
[math] x = \pi [/math]
|
[math] x =0 [/math]
|
[math] x = -\pi [/math]
|
[math] x = -2\pi [/math]
|
[math] x = -3\pi [/math]
|
[math] x = k\pi [/math]
|
|
C | A | C | A | C | A | C |
ب) الف)برای تمام نقاط انتهای B یا D می توان مقادیر زیر را نیز در نظر گرفت
[math] k \in Z\\x = k\pi + \frac{\pi }{2} [/math]
[math] k \in Z [/math] | [math]-2[/math] | [math]-1[/math] | [math]0[/math] | [math]1[/math] | [math]2[/math] | [math]3[/math] |
[math] x = k\pi + \frac{\pi }{2} [/math] | [math] – \frac{{3\pi }}{2} [/math] | [math] – \frac{{\pi }}{2} [/math] | [math] \frac{{\pi }}{2} [/math] | [math] \frac{{3\pi }}{2} [/math] | [math] \frac{{5\pi }}{2} [/math] | [math] \frac{{7\pi }}{2} [/math] |
B | D | B | D | B | D |