انبساط و انقباض افقی
انبساط و انقباض افقی
در مطالب قبلی در مورد انتقال عمودی و افقی صحبت کردیم
[math]y=f(x+k)[/math]
1-اگر [math]k>0[/math] باشد آنگاه نمودار تابع f(x) را k واحد به سمت چپ انتقال می دهیم.
2-اگر [math]k<0[/math] باشد آنگاه نمودار تابع f(x) را k واحد به سمت راست انتقال می دهیم.
مثال 1:نمودارهای زیر [math] y = {x^2},y = {(x + 2)^2},y = {(x – 2)^2} [/math]
ما تاکنون با حالتهای انتقال افقی سر و کار داشتیم که به صورت [math]f(x+k)[/math] بوده اما اگر تابع ما با ضابطه [math]y=f(kx)[/math] باشد آنگاه چگونه می توان نمودار تابع را رسم کرد ؟
تعریف : تعریف :فرض کنید تابع [math]f(x)[/math] به صورت ضابطه [math] f:A \to B [/math] تعریف شده باشد که A دامنه و B برد تابع f است .آنگاه می توان تابع [math]g=f(kx)[/math] را به کمک نمودار بررسی کرد که :
[math]1){D_g} = \{ \frac{x}{c}|x \in {D_f}\} \\2){R_f} = {R_g}[/math]
3-برای رسم نمودار [math]g(x)=f(kx)[/math] باید طول هر نقطه [math]f(x)[/math] را بر k تقسیم کنیم .
من ترجیح می دهم که ابتدا با استفاده از زوجهای مرتب این مفهوم را توضیح دهم .
مثال2:تابع [math] f = \{ (2,3),(4,5),(6,1),(8,9)\} [/math] مفروض است .تابع
[math] g(x)=f(2x) [/math] را بنویسید و دامنه و برد آن را تعیین کنید.
از زوج های مرتب داده شده می دانیم که دامنه f برابر است با
[math] {D_f} = \left\{ {2,4,6,8} \right\} [/math]
از تعریف گفتیم که دامنه تابع g برابر است با
[math] {D_g} = \left\{ {\frac{x}{2}|x \in {D_f}} \right\} [/math]
پس دامنه g برابر تقسیم اعضای دامنه f بر 2 است پس :
[math] {D_g} = \left\{ {\frac{2}{2},\frac{4}{2},\frac{6}{2},\frac{8}{2}} \right\} = \{ 1,2,3,4\} [/math]
اکنون داریم که :
[math] g(1) = f(2 \times 1) = f(2) = 3\\g(2) = f(2 \times 2) = f(4) = 5\\g(3) = f(2 \times 3) = f(6) = 1\\g(4) = f(2 \times 4) = f(8) = 9[/math]
پس تابع g برابر است با: [math] g = \{ (1,3),(2,5),(3,1),(4,9)\} [/math] همانطور که می بینید برد تابع g,f با هم برابرند .
در شکل بالا نقاط تابع f با رنگ آبی و نقاط تابع g با رنگ قرمز نشان داده شده اند . اینجا می بینیم که نمودار ما فشرده تر شده است . دقت کنید که فقط x ها تغییر کرد اما مقادیر y ها ثابت است.
مثال3:تابع [math] f = \{ (2,3),(4,5),(6,1),(8,9)\} [/math] مفروض است .تابع
[math] g(x) = f(\frac{1}{2}x) [/math] را بنویسید و دامنه و برد آن را تعیین کنید.
از زوج های مرتب داده شده می دانیم که دامنه f برابر است با
[math] {D_f} = \left\{ {2,4,6,8} \right\} [/math]
از تعریف گفتیم که دامنه تابع g برابر است با
[math] {D_g} = \left\{ {\frac{x}{{\frac{1}{2}}} = 2x|x \in {D_f}} \right\} \to {D_g} = \left\{ {2x|x \in {D_f}} \right\} [/math]
پس دامنه g برابر ضرب اعضای دامنه f در عدد 2 است پس :
[math] {D_g} = \left\{ {\frac{2}{2},\frac{4}{2},\frac{6}{2},\frac{8}{2}} \right\} = \{ 1,2,3,4\} [/math]
اکنون داریم که :
[math]g(4) = f(\frac{1}{2} \times 4) = f(2) = 3\\g(8) = f(\frac{1}{2} \times 8) = f(4) = 5\\g(12) = f(\frac{1}{2} \times 12) = f(6) = 1\\g(16) = f(\frac{1}{2} \times 12) = f(8) = 9[/math]
پس تابع g برابر است با: [math] g = \{ (4,3),(8,5),(12,1),(16,9)\} [/math] همانطور که می بینید برد تابع g,f با هم برابرند .
در شکل بالا نقاط تابع f با رنگ آبی و نقاط تابع g با رنگ قرمز نشان داده شده اند . اینجا می بینیم که نمودار ما کشیده تر شده است . دقت کنید که فقط x ها تغییر کرد اما مقادیر y ها ثابت است.
آنچه تا اینجا فهمیدیم اینکه اگر [math]|k|>1[/math] باشد آنگاه نمودار [math]y=f(kx)[/math] نموداری فشرده تر از نمودار [math]f(x)[/math] خواهد بود یعنی انقباض داریم.
و اگر [math]0<|k|<1[/math] باشد آنگاه نمودار [math]y=f(kx)[/math] نموداری کشیده تر از نمودار [math]f(x)[/math] خواهد بود یعنی انبساط داریم.
تمرین 1:نمودار تابع [math] g(x) = Sin2x [/math] را رسم کنیم.
برای رسم این نمودار ابتدا نمودار [math] f(x) = Sinx [/math] را رسم می کنیم .در واقع اینجا
[math]y = f(x) = Sinx\\g(x) = f(2x) = Sin2x[/math]
اکنون برای راحتی در بازه [math] \left[ {0,2\pi } \right] [/math] نقاطی را برای هر دو تابع حساب می کنیم در واقع ساده ترین روش را درنظر می گیریم یعنی با استفاده از نقطه یابی می خواهیم نمودار را رسم کنیم . پس طبق جدول زیر نقاطی را در نظر می گیریم .
[math] 2\pi [/math] | [math] \frac{{3\pi }}{2} [/math] | [math] \pi [/math] | [math] \frac{\pi }{2} [/math] | [math]0[/math] | [math]x[/math] |
[math]0[/math] | [math]-1[/math] | [math]0[/math] | [math]1[/math] | [math]0[/math] | [math]y=Sinx[/math] |
طبق تعریف دامنه تابع [math]g(x)=f(2x)=Sin2x[/math] بصورت تقسیم هر عضو دامنه f بر 2 حاصل می شود:
[math]{D_f} = \{ 0,\frac{\pi }{2},\pi ,\frac{{3\pi }}{2},2\pi \} \\{D_g} = \{ \frac{x}{2}|x \in {D_f}\} \to {D_g} = \{ 0,\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2},\frac{{3\pi }}{4},\pi \}[/math]
اکنون با توجه به دامنه g برد آن بصورت زیر بدست می آوریم :
[math]g(0) = f(2 \times 0) = f(0) = 0\\g(\frac{\pi }{4}) = f(2 \times \frac{\pi }{4}) = f(\frac{\pi }{2}) = 1\\g(\frac{\pi }{2}) = f(2 \times \frac{\pi }{2}) = f(\pi ) = 0\\g(\frac{{3\pi }}{4}) = f(2 \times \frac{{3\pi }}{4}) = f(\frac{{3\pi }}{2}) = – 1\\g(\pi ) = f(2 \times \pi ) = f(2\pi ) = 0[/math]
در نتیجه نقاط تابع [math]g(x)=f(2x)=Sin2x[/math] بصورت زیر خواهد بود :
[math] g(x) = f(2x) = Sin2x = \{ (0,0),(\frac{\pi }{4},1),(\frac{\pi }{2},0),(\frac{{3\pi }}{4},1),(\pi ,1)\}[/math]
اگر دقت کنیم می بینیم که نمودار قرمز رنگ ما یعنی [math] g(x) = Sin2x [/math] حالت انقباضی افقی پیدا کرده است.
اکنون به فیلم زیر نگاه کنید و تغییرات نمودار [math] h(x) = Sinax [/math]اینجا می بینیم که مقدار a وقتی تغییر می کند نمودار فقط در جهت افقی تغییر حالت می دهد و در جهت عمودی ثابت است در واقع نمودار ما فقط در جهت افقی انبساط یا انقباض پیدا می کند .
برای رسم تابع [math]y=f(kx)[/math] کافیست طول نمودار تابع [math]y=f(x)[/math] را در [math] \frac{1}{k} [/math] ضرب کنیم.در شکل زیر برای دو حالت [math]0<k<1[/math] [math]k>1[/math] , رسم شده است.
اگر [math]k>1[/math] باشد ،نمودار [math]y=f(kx)[/math] از انقباض افقی نمودار [math]y=f(x) [/math] در راستای محور x ها بدست می آید و اگر [math]0<k<1[/math] این نمودار از انبساط افقی نمودار [math]y=f(x)[/math] حاصل می شود .