انبساط و انقباض عمودی
در مطالب قبلی در مورد انتقال عمودی و افقی صحبت کردیم
رسم نمودار به کمک انتقال توابع
[math]y=f(x)+k[/math]
1–اگر [math]k> 0[/math] باشد آنگاه نمودار تابع (f(x را k واحد به سمت بالا انتقال می دهیم.
2-اگر [math]k<0[/math] باشد آنگاه نمودار تابع (f(x را k واحد به سمت پایین انتقال می دهیم.
مثال 1: نمودارهای زیر [math] y = {x^2},y = {x^2} + 3,y = {x^2} – 3 [/math]
مثال 2: نمودار [math]y=Sinx+2[/math] یعنی نمودار [math]y=Sinx[/math] را 2 واحد به سمت بالا منتقل کنیم.
ما تاکنون با حالتهای انتقال عمودی سر و کار داشتیم که به صورت [math]f(x)+k[/math] بوده اما اگر تابع ما با ضابطه [math]y=kf(x)[/math] باشد آنگاه چگونه می توان نمودار تابع را رسم کرد ؟
تعریف :فرض کنید تابع [math]f(x)[/math] به صورت ضابطه [math] f:A \to B [/math] تعریف شده باشد که A دامنه و B برد تابع f است .آنگاه می توان تابع [math]g=kf(x)[/math] را به صورت
[math] g = kf:A \to C\\g(x) = kf(x) [/math]
تعریف کرد بطوری که دامنه تابع f و تابع g با هم برابر است اما برد آنها متفاوت است.
من ترجیح می دهم که ابتدا با استفاده از زوجهای مرتب این مفهوم را توضیح دهم .
مثال 3: تابع
[math] f = \left\{ {\left( {0,1} \right),\left( {2,3} \right),\left( {5,7} \right),\left( { – 1,6} \right)} \right\} [/math]
در نظر می گیریم اکنون تابع [math] 2f,\frac{1}{2}f [/math] را بنویسید و دامنه و برد آن را تعیین کنید .
می دانیم که
|
[math]\left( {0,1} \right) \to f(0) = 1[/math]
|
پس [math]2f[/math] می شود
|
[math] 2f(0) = 2 \times 1 = 2 [/math] |
یعنی |
[math] \left( {0,1} \right) \to 2f(0) = \left( {0,2} \right) [/math] |
به همین ترتیب برای نقطه بعدی
می دانیم که
|
[math]\left( {2,3} \right) \to f(2) = 3 [/math] |
پس [math]2f[/math] می شود
|
[math] 2f(2) = 2 \times 3 = 6 [/math] |
یعنی |
[math] \left( {2,3} \right) \to 2f(0) = \left( {2,6} \right) [/math] |
به همین ترتیب برای نقاط بعدی تابع [math]2f[/math] بصورت زیر محاسبه می شود:
[math] f = \left\{ {\left( {0,1} \right),\left( {2,3} \right),\left( {5,7} \right),\left( { – 1,6} \right)} \right\} \to 2f = \left\{ {\left( {0,2} \right),\left( {2,6} \right),\left( {5,14} \right),\left( { – 1,12} \right)} \right\} [/math]
همانطور که می بینیم دامنه [math]f,2f[/math] برابر است . اما برد تابع [math]2f[/math] هر عضو آن در عدد 2 ضرب شده است .
[math] {R_f} = \left\{ {1,3,7,6} \right\} \Rightarrow {R_{2f}} = \left\{ {2,6,14,12} \right\} [/math]
یعنی در عمل y های هر نقطه f در 2 ضرب می شوند اما دامنه ها تغییر نمی کنند . پس برای رسم [math]2f[/math] کافیست y های هر نقطه f را در عدد 2 ضرب کنیم . چون اینجا ضریب 2 بود که در واقع بزرگتر از یک است .می بینیم که نقاط دورتر شدند و در واقع نمودار کشیده تر شد.
در شکل بالا نمودار و نقاط آبی رنگ نمودار نقاط تابع f هستند و قرمز رنگ نمودار نقاط تابع 2f می باشند. می بینیم که xها ثابت هستند اما y ها دورتر شده اند در واقع کشیده تر شده اند نمودار ما دچار کشیدگی یا انبساط شده است .
اکنون [math] \frac{1}{2}f [/math] را به همان روش قبلی بدست می آوریم
[math] \frac{1}{2}f = \{ (0,\frac{1}{2}),(2,\frac{3}{2}),(5,\frac{7}{2}),( – 1,3)\} [/math]
باز دامنه هر دو تابع یکسان و فقط برد تابع تغییر می یابد و همچنین y ها در [math] \frac{1}{2} [/math] ضرب می شوند .یعنی نقاط فشرده تر می شوند یا اصطلاحا دچار انقباض می شوند.
آنچه تا اینجا فهمیدیم اینکه اگر [math]|k|>1[/math] باشد آنگاه نمودار [math]y=kf(x)[/math] نموداری کشیده تر از نمودار [math]f(x)[/math] خواهد بود یعنی انبساط داریم.
و اگر [math]0<|k|<1[/math] باشد آنگاه نمودار [math]y=kf(x)[/math] نموداری فشرده تر از نمودار [math]f(x)[/math] خواهد بود یعنی انبقباض داریم.
تمرین 1:نمودار تابع [math] g(x) = 2\sqrt x [/math] را رسم کنیم.
نمودار تابع [math] f(x) = \sqrt x [/math] را در نظر می گیریم .
اکنون می خواهیم نمودار [math] g(x) = 2\sqrt x [/math] را با استفاده از نمودار
[math] f(x) = \sqrt x [/math] رسم کنیم . ابتدا ساده ترین روش را درنظر می گیریم یعنی با استفاده از نقطه یابی می خواهیم نمودار را رسم کنیم . پس طبق جدول زیر نقاطی را در نظر می گیریم .
[math] g(x) = 2\sqrt x [/math] | [math] f(x) = \sqrt x [/math] | [math]x[/math] |
0 | 0 | 0 |
2 | 1 | 1 |
4 | 2 | 4 |
6 | 3 | 9 |
همانطور که در جدول بالا می بینید اگرx=0 باشد مقدار y در هر دو ن تابع نیز صفر شد . اما اگر x=1 باشد در تابع f(x) برابر 1 شد و تابع g(x) برابر 2 شد یعنی مقدار خروجی یا همان مقدار y در تابع (g(x دو برابر شد . به همین ترتیب برای نقطه x=4 می بینم که مقدار y در تابع f(x) برابر 2 می شود اما در تابع g(x) برابر 4 شد باز اینجا 2 برابر (f(x است . حالا اگر این نقاط را روی نمودار مختصاتی ترسیم کنیم و به هم وصل کنیم نمودار تقریبی هر دو تابع فوق بصورت زیر حاصل می شود.
در شکل بالا نمودار [math] g(x) = 2\sqrt x [/math] و نمودار [math] f(x) = \sqrt x [/math]
با هم رسم شده اند و همانطور که می بینیم نقاط y برای نمودار g(x) دو برابر شده اند اما مقادیر x ها تغییر نکرده است .
تمرین 2: نمودار تابع [math] g(x) = \frac{{\sqrt x }}{2} [/math] را رسم کنید.
همانند تمرین 1 نمودار تابع [math] f(x) = \sqrt x [/math] را در نظر می گیریم .
اکنون می خواهیم نمودار [math] g(x) = \frac{{\sqrt x }}{2} [/math] را با استفاده از نمودار
[math] f(x) = \sqrt x [/math] رسم کنیم . ابتدا ساده ترین روش را درنظر می گیریم یعنی با استفاده از نقطه یابی می خواهیم نمودار را رسم کنیم . پس طبق جدول زیر نقاطی را در نظر می گیریم .
[math] g(x) = 2\sqrt x [/math] | [math] f(x) = \sqrt x [/math] | [math]x[/math] |
[math]0[/math] | 0 | 0 |
[math] \frac{1}{2} [/math] | 1 | 1 |
[math] \frac{1}{4} [/math] | 2 | 4 |
[math] \frac{1}{6} [/math] | 3 | 9 |
همانطور که در جدول بالا می بینید اگرx=0 باشد مقدار y در هر دو ن تابع نیز صفر شد . اما اگر x=1 باشد در تابع f(x) برابر 1 شد و تابع g(x) برابر [math] \frac{1}{2} [/math] شد یعنی مقدار خروجی یا همان مقدار y در تابع g(x) نصف شد . به همین ترتیب برای نقطه x=4 می بینم که مقدار y در تابع f(x) برابر 2 می شود اما در تابع g(x) برابر [math] \frac{1}{2} [/math] شد باز اینجا یک چهارم برابر f(x) است . حالا اگر این نقاط را روی نمودار مختصاتی ترسیم کنیم و به هم وصل کنیم نمودار تقریبی هر دو تابع فوق بصورت زیر حاصل می شود. و به همین ترتیب مقادیر y کوچکتر می شوند .
اکنون فیلم زیر را ببینید . در این فیلم نمودار تابع [math] y = k\sqrt x [/math] را رسم می کنیم .در جالت اول به ازای k>1 نمودار ما به سمت بالا حرکت می کند و در واقع انبساط ما عمودی است چون مقادیر y ما در حال افزایش بزرگتر شدن است .
در حالت دوم اگر 0<k<1 باشد نمودار [math] y = k\sqrt x [/math] انقباض عمودی خواهد داشت .چون مقادیر y تابع ما کاهش می یابد در نتیجه اینجا نمودار دچار انقباض عمودی است .
تمرین 3 :نمودارهای توابع [math] y = \sin x,g(x) = 3\sin x,h(x) = \frac{1}{2}\sin x [/math] را رسم کنید.
ابتدا با استفاده از چند نقطه دلخواه جدول زیر را برای هر کدام از نمودارهای فوق بدست می آوریم .
حالا اگر اینها رو بصورت نقطه ای رسم کنیم نمودارهایی به صورت زیر خواهیم داشت :
نمودار [math]g=3sinx[/math] می بینیم که نقاط x همان است اما y ها سه برابر شده اند .
نمودار [math] h(x) = \frac{1}{2}\sin x [/math] می بینیم که نقاط x همان است اما y ها نصف یا یک دوم شده اند .
نتیجه گیری :
از این تمرینهایی که حل کردیم نتیجه می گیریم که در حالت کلی اگر [math](x,y)[/math] یک نقطه از نمودار تابع [math]y=f(x)[/math] باشد . و تابع g به صورت [math]g(x)=kf(x)[/math] تعریف شده باشد، در این صورت
[math]g(x)=kf(x)=ky[/math]
بنابر این [math](x,ky)[/math] یک نقطه از نمودار تابع g متناظر با نقطه [math](x,y)[/math] از نمودار تابع f است .
برای رسم نمودار تابع [math]y=kf(x)[/math] کافیست عرض نقاط نمودار تابع [math]y=f(x)[/math] را در [math]k[/math] ضرب کنیم .
اگر [math]k>1[/math] باشد،نمودار [math]y=kf(x)[/math] از انبساط عمودی نمودار [math]y=f(x)[/math] حاصل می شود و اگر [math]0<k<1[/math] باشد،نمودار [math]y=kf(x)[/math] از انقباض عمودی نمودار [math]y=f(x)[/math] بدست می آید .
تمرین 4:نمودار تابع [math]y=f(x)[/math] در زیر رسم شده است . با انجام مراحل زیر نمودار تابع [math]y=-2f(x-1) [/math] را رسم کنید.
ابتدا در نمودار f(x) دامنه تابع را بدست می آوریم. با توجه به نمودار
[math] – 1 \le x \le 2 [/math] می باشد .اکنون f(x-1) را بدست می آوریم .این یعنی انتقال افقی نمودار به اندازه یک واحد به سمت راست یعنی محدوده x به صورت
[math] – 2 \le x \le 1 [/math] خواهد بود . همچنین هر کدام از نقاط زیر به نقاط جدید منتقل می شوند .
[math](-1,1)\rightarrow(-2,1)[/math]
[math](0,1)\rightarrow(1,-1)[/math]
[math](2,0)\rightarrow(1,0)[/math]
مرحله بعدی [math]y=-f(x-1)[/math] اینجا باید نمودار دومی که بدست را قرینه کنیم.قرینه نمودار نسبت به محور x ها را بدست می آوریم.
[math]( – 2,1) \to ( – 2, – 1)\\(1, – 1) \to ( – 1, – 1)\\(1,0) \to (1,0)[/math]
و سرانجام [math]y=-2f(x-1)[/math] دامنه این تابع با دامنه تابع [math]y=-f(x-1)[/math] برابر است فقط برد تابع یا در واقع yها عوض می شوند . وبا توجه به اینکه ضریب 2 است که از یک بزرگتر است پی تابع کشیده می شود و دچار انبساط می شود. سه نقطه از تابع فوق بصورت زیر خواهند شد :
[math]( – 2, – 1) \to \times 2 \to ( – 2, – 2)\\( – 1, – 1) \to \times 2 \to ( – 1, – 2)\\(1,0) \to \times 2 \to (1,0)[/math]