حدهای نامتناهی در بی نهایت
حدهای نامتناهی در بی نهایت
بعضی مواقع با حدهایی مواجه می شویم که x به سمت مثبت یا منفی بی نهایت میل می کند و همچنین خود تابع نیز نامتناهی می شود .
1)مفهوم [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = + \infty [/math]
یعنی x بسیار بزگر می شود و از هر عدد بزرگی بزرگتر می شود و در نتیجه حاصل خود تابع نیز بسیار بزرگ می شود .
مانند [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^2} = + \infty [/math]
نمودار این دو حد فوق در بالا داده شده است . نگاه کنید هر چی مقدار x بزرگتر می شود مقدار تابع روی نمودار آبی رنگ نیز به همین تزتیب بزرگتر می شود .
10000 | 1000 | 100 | 10 | 0 | [math]x[/math] |
10000 | 1000 | 100 | 10 | 0 | [math]f(x)=x[/math] |
برای نمودار [math] {x^2} [/math] به همین ترتیب است هر چی مقدار x بزرگتر شود مقدار تابع نیز بزرگتر می شود چدول مقادیر زیر را ببینید:
[math] {10^5} [/math] | [math] {10^4} [/math] | 1000 | 100 | 10 | 1 | 0 | [math]x[/math] |
[math] {10^10} [/math] | [math] {10^8} [/math] | 1000000 | 10000 | 100 | 1 | 0 | [math] {x^2} [/math] |
2-مفهوم [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = – \infty [/math]
یعنی با میل کردن x به سمت مثبت بی نهایت ،[math]f(x)[/math] به سمت منفی بی نهایت میل می کند در واقع حد این تابع در [math] + \infty [/math] برابر [math] – \infty [/math] است .
مانند : [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } – {x^2} = – \infty [/math]
3-مفهوم [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f(x) = + \infty [/math]
یعنی با کاهش مقدار x مقدار تابع f به ازای هر عدد مثبت بزرگتر می شود.
مانند : [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {x^2} = + \infty [/math]
4-مفهوم : [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f(x) = – \infty [/math]
یعنی با کاهش مقدارx مقدار تابع f به ازای هر عدد منفی کوچکتر می شود .
مانند [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } x = – \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {x^3} = – \infty [/math]
مثال 1:حد تابع [math] f(x) = {x^3} [/math] را در بی نهایت بررسی کنید.
طبق نمودار فوق مشخص است که :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^3} = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {x^3} = – \infty [/math]
مثال 2: حد تابع نمایی [math] {a^x} [/math]به ازای [math]a>1[/math] به صورت:
[math] a > 1 \to \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {a^x} = + \infty [/math]
اعمال ممکن روی بی نهایت ها
دقت کنید عبارتهای زیر در جدول نیستند چون تعریف نشده یا مبهم هستند: