مشتق پذیری روی بازه
مشتق پذیری روی بازه
تاکنون در مورد مشتق پذیری روی یک نقطه صحبت کردیم . اکنون می خواهیم روی بازه ها بررسی کنیم.
1-تابع [math]f[/math] روی بازه [math](a,b)[/math] مشتق پذیر است اگر که در تمام نقاط درونی این بازه مشتق پذیر باشد.
2-تابع [math]f[/math] روی بازه [math][a,b)[/math] وقتی مشتق پذیر است که در تمام نقاط درونی بازه مشتق پذیر باشد و در نقطه [math]a[/math] مشتق راست داشته باشد.
[math] {{f’}_ + }(a) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f'(x) [/math]
3-تابع [math]f[/math] روی بازه [math](a,b][/math] وقتی مشتق پذیر است که در تمام نقاط درونی بازه مشتق پذیر باشد و در نقطه [math]b[/math] مشتق چپ داشته باشد.
[math] {{f’}_ – }(b) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ – }} f'(x) [/math]
4-تابع [math]f[/math] روی بازه [math][a,b][/math] وقتی مشتق پذیر است که در تمام نقاط درونی بازه مشتق پذیر باشد و در نقطه [math]a[/math] مشتق راست ودر نقطه [math]b[/math] مشتق چپ داشته باشد.
[math] {{f’}_ + }(a) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f'(x) [/math]
[math] {{f’}_ – }(b) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ – }} f'(x) [/math]
مثال 1: تابع زیر را در نظر بگیرید:
[math] f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}}&{ – 2 \le x \le 1}\\{x + 1}&{x > 1}\end{array}} \right\} [/math]
این تابع روی بازه [math](1,2)[/math] مشتق پذیر است چون در تمام نقاط درونی این بازه مشتق دارد اما در x=1 پیوستگی راست ندارد :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} (x + 1) = 1 + 1 = 2\\x = 1 \Rightarrow f(1) = {1^2} = 1 [/math]
چون حد راست تابع در نقطه [math]x=1[/math] با مقدار تابع در این نقطه برابر نیست :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) \ne f(1) [/math]
چون در این نقطه [math]x=1[/math] پیوستگی راست ندارد پس مشتق راست هم ندارد. لذا تابع در بازه [math][1,2)[/math] مشتق پذیر نیست.
مثال 2: تابع [math] f(x) = \sqrt[3]{x} [/math] روی بازه های [math] ( – \infty ,0),(0, + \infty ) [/math] مشتق پذیر است اما در نقطه x=0 مشتق پذیر نیست لذا نمی توانیم بگویم که این تابع روی [math] ( – \infty , + \infty ) [/math] مشتق پذیر است.
[math] f(x) = \sqrt[3]{x} \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{{3\sqrt[3]{{{x^2}}}}} [/math]
مشتق بدست امده در بالا در نقطه صفر تعریف نشده است لذا در صفر مشتق پذیر نیست.