کابرد حدهای نامتناهی -مجانب قائم

مجانب قائم

وقتی صحبت از حد بی نهایت  یا حد نامتناهی (حدهایی که نتیجه آنها بی نهایت می شود )می شود ، عمدتا یکی از کاربردهای آن پیدا کردن مجانب قائم است لذا قبل از ادامه بحث حد ، تصمیم داریم که در این مطلب نگاهی داشته باشیم به مقوله مجانب قائم.

در هندسه تحلیلی ((مجانب)) به خطی گفته می شود که در بی نهایت فاصله آن تا منحنی به صفر نزدیک می شود یا به تعبیری دیگر در بی نهایت بر منحنی مماس باشد . اما مجانب قائم چیست و چگونه محاسبه می شود .

مجانب قائم خطی است عمودی که در کنار منحنی حرکت می کند و در بی نهایت بر آن مماس می شود.یعنی مجانب قائم خطی موازی محور Y هاست. به شکل زیر دقت کنید

مجانب قائم یعنی:

تابع [math]f(x)[/math] داده شده است . اگر حد این تابع در نقطه ای مانند a یعنی [math] x \to a  [/math] را حساب کنیم یعنی حد زیر را حساب کنیم :

[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x)= \infty [/math]

یا حد چپ و راست این تابع در نقطه a را حساب کنیم :

[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x),\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ – }} f(x) [/math]

اگر این حد های برابر مثبت یا منفی بی نهایت شوند .

به تعبیری ساده تر اگر حد چپ و راست تابعی در یک نقطه مانند a برابر مثبت یا منفی بی نهایت شدند خط x=a برای آن تابع مجانب قائم است.

تعریف ریاضی مجانب قائم:

خط [math]x=a[/math] را مجانب قائم نمودار تابع [math]f(x)[/math] گویند هر گاه حداقل یکی از شرایط زیر بر قرار باشد.

مثال 1: در نمودارهای زیر می بینید که مجانب قائم چگونه است .

 

در این نمودار خط x=0 مجانب قائم است چون x از سمت و چپ و راست نمودار تابع به سمت مثبت بی نهایت می رود. [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) =  + \infty [/math]
در این نمودار داریم : [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} g(x) =  – \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} g(x) =  + \infty [/math]   در این نمودار نیز خط [math]x=0[/math] مجانب قائم است.

حالتهای کلی مجانب های قائم در نمودارها

به طور کلی در نمودارها ممکن است هر کدام از حالتهای زیر برای مجانب قائم را دشته باشیم .

در هر یک از شکل های زیر [math]x=a[/math] یک مجانب قائم نمودار داده شده است .

ممکن است هر دو حد چپ و راست به سمت بی نهایت باشند مانند زیر :

ممکن است فقط حد چپ یا فقط حد راست به سمت بی نهایت باشد مانند حالتهای زیر :

 

1-مجانب قائم در توابع کسری موجود است.با این حساب در جاهایی که مخرج کسر صفر می شود مجانب قائم وجود دارد. اما اگر این نقطه باعث صفر شدن صورت شود ما به نقطه مبهم [math] \frac{0}{0} [/math] مواجه می شویم که باید پس از رفع ابهام  ، ببینیم آیا مجانب قائم موجود است یا خیر .

مثال 2:آیا تابع [math] f(x) = \frac{{{x^2} – x – 6}}{{{x^2} – 4}} [/math] مجانب قائم دارد؟

گفتیم که مجانب قائم برای کسرها از ریشه مخرج بدست می آید پس برای کسر فوق ابتدا ریشه های مخرج را حساب می کنیم :

[math] {x^2} – 4 = 0 \Rightarrow (x – 2)(x + 2) = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  + 2\\x =  – 2\end{array} \right\} [/math]

مخرج دو ریشه دارد پس هر دو ریشه را جداگانه حساب می کنیم

ابتدا ریشه x=-2 را در نظر می گیریم

[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to  – 2} f(x) = \frac{{{x^2} – x – 6}}{{{x^2} – 4}} = \frac{{{{( – 2)}^2} – ( – 2) – 6}}{{{{( – 2)}^2} – 4}} = \frac{0}{0} [/math]

حد ما مبهم شد پس باید رفع ابهام کنیم . یکی از راههای ساده رفع ابهام ساده کردن کسر هست :

[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to  – 2} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – 2} \frac{{{x^2} – x – 6}}{{{x^2} – 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – 2} \frac{{(x – 3)(x + 2)}}{{(x – 2)(x + 2)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – 2} \frac{{(x – 3)}}{{(x – 2)}} = \frac{5}{4} [/math]

همانطور که می بینید در x=-2 حد تابع برابر بی نهایت نیست پس در این نقطه مجانب قائم نداریم .

اکنون حد تابع در x=2 را حساب می کنیم :

[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} – x – 6}}{{{x^2} – 4}} = \frac{{4 – 2 – 6}}{0} = \infty [/math]

حد چپ و راست را حساب می کنیم:

[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{{x^2} – x – 6}}{{{x^2} – 4}} = \frac{{4 – 2 – 6}}{{{0^ + }}} =  + \infty \\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} \frac{{{x^2} – x – 6}}{{{x^2} – 4}} = \frac{{4 – 2 – 6}}{{{0^ – }}} =  – \infty [/math]

پس نتیجه می گیریم که تابع فوق فقط در x=2 دارای مجانب قائم است و خط x=2 مجانب قائم تابع داده شده است .

 

2-در توابع کسری رادیکالی ،باید ریشه های مخرج را بدست آوریم اما به شرطی که این ریشه ها رادیکالهای فرجه زوج را تعریف کنند یعنی ریشه های مخرج در صورتی که زیر رادیکال فرجه زوج را منفی کنند,به عنوان مجانب قائم قابل قبول نیستند.

 

مثال 3:مجانب قائم [math] f(x) = \frac{1}{{\sqrt {x – 1} }} + \frac{1}{{\sqrt {x – 2} }} + \frac{1}{{\sqrt {x – 3} }} [/math]

ریشه های مخرج برابرند با [math]x=1,x=2,x=3[/math]

اما به ازای [math]x=1,x=2[/math] دو رادیکال [math] \sqrt {x – 2} ,\sqrt {x – 3} [/math] را بی معنی می کند در واقع این دو رادیکال با فرجه زوج ، زیر رادیکال منفی میشه که قابل قبول نیست

بنابر این اینجا فقط خط [math]x=3[/math] را می توان به عنوان مجانب قائم قبول کرد.

مثال 4: آیا [math] f(x) = \frac{{\sqrt {{x^2} – 1} }}{x} [/math] مجانب قائم دارد؟

ابتدا ریشه مخرج را حساب می کنیم x=0 است . اما اگر این ریشه را در صورت کسر که رادیکالی است قرار دهیم صورت کسر ما میشه منفی یک زیر رادیکال که بی معنی است پس این تابع ما مجانب قائم ندارد

[math] \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt {{x^2} – 1} }}{x}\\x = 0\end{array} \right\} \to \frac{{\sqrt {{0^2} – 1} }}{0} = \frac{{\sqrt { – 1} }}{0}\\ [/math]

محاسبات فوق برای رادیکال با فرجه زوج قابل قبول نیست .

نکته 3:از میان توابع غیر کسری ،تنها توابع لگاریتمی دارای مجانب قائم هشتند .

خط [math]x=0[/math] مجانب قائم [math]y=logx[/math] است که با توجه به

[math] \log x =  – \log \frac{1}{x} [/math]

می توان گفت که در این تابع غیر کسری نیز [math]x=0[/math] ریشه مخرج است .

 

[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \log _a^x =  + \infty [/math]	[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \log _a^x =  – \infty [/math]

 

نتیجه : بطور کلی برای توابع لگاریتمی [math] \log _a^{f(x)} [/math] مجانب قائم به صورت زیر بدست می آید که [math]x=k[/math]

اول : [math] x \to k \Rightarrow f(x) \to {0^ + } [/math]

دوم : [math] x \to k \Rightarrow f(x) \to  + \infty [/math]

یعنی در واقع حد تابع لگاریتمی در دو حالت برابر بی نهایت می شود

[math] 1)\log {0^ + } =  – \infty \\2)\log ( + \infty ) =  + \infty [/math]

مثال 5: مجانب قائم [math]f(x)=log(x-2)[/math] را بدست آورید .

دامنه این تابع به صورت [math] {D_f} = (2, + \infty ) [/math] نمودار تابع به صورت زیر است :

شرط اول یعنی [math] xx \to k \Rightarrow f(x) \to {0^ + } [/math] را بررسی می کنیم:

[math] x \to {2^ + } \Rightarrow (x – 2) \to {0^ + } [/math]

پس داریم :

[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \log (x – 2) =  + \infty [/math]

بنابر این x=2 مجانب قائم نمودار تابع لگاریتمی داده شده است.

 

مثال 6:مجانب قائم [math] \log \frac{{{x^2} – 1}}{{{x^2} – 9}} [/math] را بدست آورید.

گفتیم که حد تابع لگاریتم در دو حالت بی نهایت می شود

[math] \log {0^ + } =  – \infty ,\log ( + \infty ) =  + \infty [/math]

به بیانی دیگر هم ریشه های صورت و هم ریشه های مخرج کسر داده شده می توانند مجانب قائم باشند ریشه های صورت [math] x =  \pm 1[/math] و ریشه های مخرج [math] x =  \pm 3 [/math]

پس داریم :

ریشه های صورت باعث تحقیق حالت [math] log {0^ + } =  + \infty [/math] می شوند.

[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \log \frac{{{x^2} – 1}}{{{x^2} – 9}} = \log \frac{{{0^ – }}}{{ – 8}} = \log {0^ + } =  – \infty \\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to  – {1^ + }} \log \frac{{{x^2} – 1}}{{{x^2} – 9}} = \log \frac{{{0^ – }}}{{ – 8}} = \log {0^ + } =  – \infty [/math]

ریشه های مخرج باعث تحقیق شرط [math] \log ( + \infty ) =  + \infty [/math]

[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \log \frac{{{x^2} – 1}}{{{x^2} – 9}} = \log \frac{8}{{{0^ + }}} = \log ( + \infty ) =  + \infty \\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to  – {3^ – }} \log \frac{{{x^2} – 1}}{{{x^2} – 9}} = \log \frac{8}{{{0^ + }}} = \log ( + \infty ) = + \infty [/math]

پس تابع دارای چهار مجانب قائم است [math] (x =  \pm 1,x =  \pm 3) [/math]

نمودار و مجانب های قائم آن در شکل زیر رسم شده اند.