تمرینات بخش قضایای حد و محاسبه
قبل از اینکه تمرینات را ببینید پست قبلی را مشاهده کنید
حدهای زیر را محاسبه کنید.
[math] 1)\mathop {\lim }\limits_{x \to 10} \left( {2x\lg {x^3}} \right) [/math]
پاسخ با استفاده از ضرب در حدها داریم:
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 10} \left( {2x\lg {x^3}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 10} 2x\cdot\mathop {\lim }\limits_{x \to 10} \lg {x^3} = 2\mathop {\lim }\limits_{x \to 10} x\cdot\lg \left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to 10} {x^3}} \right) = 2\cdot10\cdot\lg 1000 = 20\cdot3 = 60 [/math]
[math] 2)\mathop {\lim }\limits_{x \to 9} \frac{{4{x^2}}}{{1 + \sqrt x }} [/math]
پاسخ با استفاده از قضیه خارج قسمت در حدها داریم:
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 9} \frac{{4{x^2}}}{{1 + \sqrt x }} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 9} 4{x^2}}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 9} \left( {1 + \sqrt x } \right)}} = \frac{{4\mathop {\lim }\limits_{x \to 9} {x^2}}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 9} 1 + \mathop {\lim }\limits_{x \to 9} \sqrt x }} = \frac{{4\cdot{9^2}}}{{1 + \sqrt 9 }} = 81 [/math]
تمرین 3:فرض کنید [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = 2 [/math] و حد تابع دیگری [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g(x) = 3 [/math] باشد حاصل عبارت زیر را محاسبه کنید.
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{g\left( x \right) – 3f\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right) + g\left( x \right)}} [/math]
با استفاده از قضایای حد داریم :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{g\left( x \right) – 3f\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right) + g\left( x \right)}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {g\left( x \right) – 3f\left( x \right)} \right]}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {{f^2}\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right) – \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {3f\left( x \right)} \right]}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {f^2}\left( x \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right)}}\\= \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right) – 3\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)}}{{{{\left[ {\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)} \right]}^2} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right)}} = \frac{{3 – 3 \times 2}}{{{2^2} + 3}} = – \frac{3}{7} [/math]
تمرین 4:تابع g را به گونه ای تعریف کنید که داشته باشیم [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{g(x)}}{{{x^2} – 1}} = 4 [/math]
پاسخ با استفاده از قضایای حد داریم :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{g(x)}}{{{x^2} – 1}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g(x)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} ({x^2} – 1)}} = 4 [/math]
برای مخرج با استفاده از حد چند جمله ایها داریم که :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} ({x^2} – 1) = {2^2} – 1 = 4 – 1 = 3 [/math]
پس اکنون عبارت بالا بصورت زیر خواهد شد:
[math] \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g(x)}}{3} = 4 \to \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g(x) = 12 [/math]
تمرین 5:در تابع زیر مقدار b را طوری تعیین کنید که تابع در x=-1 حد داشته باشد:
[math] f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{x^2} + [x]}}{{|x|}}}&{x < – 1}\\{3x + b}&{x > – 1}\end{array}} \right\} [/math]
حد چپ و راست این تابع در نقطه [math]x=-1[/math]باید برابر باشند پس :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ – }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ – }} \frac{{{x^2} + [x]}}{{|x|}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ – }} {x^2} + \mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ – }} [x]}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ – }} |x|}} [/math]
می دانیم که :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ – }} |x| = – x\\\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ – }} [x]\\ – 2 \le x < – 1\end{array} \right\} \to \mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ – }} [x] = – 2 [/math]
این مقادیر را در عبارت جایگزین می کنیم:
[math] \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ – }} {x^2} + \mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ – }} [x]}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ – }} |x|}} = \frac{{{{( – 1)}^2} – 2}}{{ – ( – 1)}} = \frac{{1 – 2}}{1} = – 1 [/math]
اکنون حد چپ و راست باید برابر باشند :
[math] \left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ + }} f(x) = – 3 + b\\\mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ – }} f(x) = – 1\end{array} \right\} \to – 3 + b = – 1 \to b = 2 [/math]
تمرین 6: نمودارهای توابع f ,gبصورت زیر داده شده است .
حاصل حدهای زیر را حساب کنید.
[math] 1)\mathop {\lim }\limits_{x \to – 2} (2g(x) – f(x))\\= \mathop {\lim }\limits_{x \to – 2} 2g(x) – \mathop {\lim }\limits_{x \to – 2} f(x) = 2\mathop {\lim }\limits_{x \to – 2} g(x) – \mathop {\lim }\limits_{x \to – 2} f(x) = 2(2) – 0 = 4\\\\2)\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{g(x)}}{{f(x)}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g(x)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x)}} \to \left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{g(x)}}{{f(x)}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} g(x)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x)}} = \frac{0}{1} = 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \frac{{g(x)}}{{f(x)}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} g(x)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} f(x)}} = \frac{0}{{ – 1}} = 0\end{array} \right\} \to \\\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{g(x)}}{{f(x)}} = 0\\\\3)\mathop {\lim }\limits_{x \to – 3} – 3\sqrt {g(x)} = – 3\mathop {\lim }\limits_{x \to – 3} \sqrt {g(x)} = – 3\sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to – 3} g(x)} = – 3(1) = – 3 [/math]