حد توابع -مفهوم بی نهایت
قبل از آنکه وارد بحث حد در بی نهایت و حد های نامتناهی بشویم تصمیم دارم در مورد مفهوم بی نهایت کمی توضیح بدهم لازم به ذکر است که ((حد بی نهایت یا حد نامتناهی )) و ((حد در بی نهایت )) با هم متفاوت است .حد بینهایت در واقع متغیر ما به سمت عددی میل می کرد اما تابع ما بی نهایت میشد ، حد در بی نهایت اینجا متغیر ما به سمت بی نهایت میل می کند اما حد ما ممکن است عدد و شاید هم بی نهایت شود.
اما کلا مفهوم بی نهایت چیست؟ متاسفانه برخی تصور می کنند که اگر حدی برابر بی نهایت شد یعنی آن حد موجد نیست ! این فهم اشتباه است . بی نهایت به معنای عدم وجود حد نیست ، بلکه بی نهایت خود یک عدد است که ممکن است خیلی بزرگ یا خیلی کوچک باشد ویا ممکن است یک عدد بی پایان باشد ! با این مقدمه یک یک مفاهیم را توضیح می دهیم .
بی نهایت چیزی که انتهایی ندارد
ما با پدیده ای نادر مواجه می شویم ، پدیده ای که هرگز پایان ندارد ، چنین چیزی در جهان واقع به سختی می توان تصور کرد چرا که ما در دنیایی با اندازه زندگی می کنیم .در واقع بی نهایت یعنی چیزی بی پایان و بی حد و حصر .
بی نهایت رشد وبزرگتر نمی شود
یعنی اینکه ما نمی دانیم که اصلا بی نهایت چه اندازه است تا بتوان میزان رشد آن را اندازه گرفت در واقع رشد آن را نمی توانیم بفهمیم.
بی نهایت یک عدد واقعی نیست
بی نهایت یک مفهوم است ، یعنی چیزی که پایان ندارد . بی نهایت را نمی توان اندازه گرفت ، حتی وسعت کهکشانها و فضا هم نمی تواند با بی نهایت رقابت کند ،یعنی بی نهایت از اندازه کهکشانها و فضاها هم بزرگتر است.
خوب مفاهیم بالا کمی یچیده بود ، اما در دل همین پیچیدگی ، سادگی هم هست ، بی نهایت بسیار ساده است بله بسیار ساده! ساده تر از چیزهای با پایان ، چرا ؟
چون هر چیزی که پایانی دارد شما باید مشخص کنید که کجا پایان می یابد .اما بی نهایت اینگونه نیست .
مثالهای دیگر از بی نهایت :
1-مجموعه اعداد طبیعی {1و2و3و4و5و…….} یک مجموعه بی پایان که تا بی نهایت ادامه دارد.
3-عدد های بسیار بزرگ مانند عدد Googol
در تمام مثالهای بالا یک نکته مشترک وجود داشت ، این نکته عبارت است از :
بی نهایت بر خلاف تصور ما چیز غیر ممکنی نیست بلکه ممکن است مانند هر کدام از مثالهای بالا باشد ، یعنی چی ؟ یعنی اینکه بی نهایت یک هویت مشخص دارد .حال اگر حد تابعی برابر بی نهایت شد ، ممکن است حد ما مثل مثالهای بالا باشد ، پس اگر می گوییم حد برابر بی نهایت است یا حد در بی نهایت ، یعنی حد در جایی با تکرار بی انتها و یا شاید عددی بسیار بزرگ و …این نماد نشان می دهد که حد موجود نیست .چون مقدار تابع به عدد خاصی نزدیک نمی شود و بی نهایت فقط یک نماد است که نمایش می دهد مقدار تابع از هر عددی بزرگتر یا کوچکتر است.
چند نوع صفر داریم
1-صفر مطلق یا صفر واقعی: همان صفری است که از دبستان و راهنمایی و مقاطع مختلف تحصیلی با آن آشنا شده ایم.
2-صفر حدی: صفر حدی برابر خود صفر نیست بلکه به معنای بسیار نزدیک شدن به عدد صفر است .یعنی از سمت راست یا سمت چپ خیلی خیلی زیاد به عدد صفر نزدیک می شویم . و به دو صورت نمایش داده می شود.
[math] {0^ – },{0^ + } [/math]
مفهوم تعریف نشده :
اگر کسری داشته باشیم که مخرج آن صفر واقعی باشد اما صورت آن عدد یا صفر حدی باشه آن کسر را تعریف نشده می گوییم :
پس در واقع هر گاه مخرج ما صفر مطلق باشد کسر ما تعریف نشده خواهد بود .
اما اگر مخرج کسر صفر حدی باشد حالتهای زیر را خواهیم داشت :
در محاسبه حدوی که به صورت تقسیم عدد غیر صفر بر صفر حدی هستند تشخیص
[math] {0^ – },{0^ + } [/math] مهم است چون حالتهای زیر بدست می آید :
تفاوت بی نهایت و تعریف نشده
در پاراگراف قبلی دیدیم که چگونه کسر ما بی نهایت یا تعریف نشده می شود . اکنون می خواهیم از دیدگاهی دیگر به این مساله بپردازیم .
فرض کنید x به سمت عدد صفر میل می کند [math] x \to 0 [/math] یعنی x بسیار نزدیک به صفر می شود اما دقیقا برابر صفر نیست .یعنی x برابر صفر حدی است.
مثلا در [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{x} [/math] در اینجا x برابر صفر نیست اما به سمت صفر میل می کند در واقع برابر صفر حدی است .به تعبیری دیگر وقتی مخرج کوچک و کوچکتر می شود آن کسر بسیار بزرگ می شود و در اصطلاح به سمت بی نهایت میل می کند .
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{x} = \infty [/math]
برخی از خصوصیات بی نهایت :
چیزی که در عملیات بالا مشاهده کردیم عملیاتی قابل قبول است اما ممکن است با حالتهایی مواجه شویم که غیر قابل قبول باشد مانند حالتهای زیر :
خیلی جالب بود
کسی نیست
نظر به اين گفته كه نهايت رشد نميكند ميتوان خود ((بينهايت را محدود دانست؟؟
بسیار جالب و آموزنده بود . لطفا بیشتر درمورد این موضوع بگید .