دنباله ها بخش 2-تصاعد و دنباله حسابی (مفهوم تصاعد و دنباله حسابی)

بخش 1دنباله حسابی(تصاعد حسابی)

دبناله یا تصاعد حسابی در واقع یک رشته از اعداد است که در آن تفاوت هر عدد با عدد قبلی یک مقدار ثابت است .که ما به این مقدار ثابت قدر نسبت می گوییم.و آن را با نماد d  نمایش می دهیم.به عبارتی دیگر شما یک مقدار ثابت را به هر جمله رشته اضافه می کنید .

در حالت کلی ما می توانیم جملات یک دنباله یا تصاعد حسابی را بصورت زیر بنویسیم :

[math] \left\{ {{\bf{a}},{\rm{ }}{\bf{a}} + {\bf{d}},{\rm{ }}{\bf{a}} + {\bf{2d}},{\rm{ }}{\bf{a}} + {\bf{3d}},{\rm{ }}…{\rm{ }}} \right\} \\[/math]

که :

1-a  جمله اول دنباله حسابی .

2-d  همان مقدار ثابت است که به هر جمله دنباله اضافه می شود در واقع همان قدر نسبت است .

برای اینکه تشخیص بدهیم یک دنباله از نوع دنباله حسابی است باید ، تفاضل هر دو جمله متوالی و بغل هم را حساب کنیم در صورتی که تفاضل هر دو جمله عدد یکسان باشد آن دنباله از نوع دنباله حسابی است .

مثال:کدام یک از دنباله های زیر حسابی است ؟

[math] 9,11,13,15,….. [/math]

پس با توجه به تفاضلهای روبرو ، تفاضل هر دو جمله متوالی یکسان است پس این یک دنباله حسابی با قدر نسبت 2 است.

[math]\left[ \begin{array}{l}11 – 9 = 2 \\13 – 11 = 2 \\15 – 13 = 2 \\\end{array} \right][/math]

[math] 5,10,20 \\ [/math]

پس با توجه به تفاضلهای روبرو ، تفاضل هر دو جمله متوالی یکسان نیست پس این یک دنباله حسابی نمی باشد

[math]\left[ \begin{array}{l}10 – 5 = 5 \\20 – 10 = 10 \\\end{array} \right][/math]

 

[math] 13,7,1, – 5,…[/math]

پس با توجه به تفاضلهای روبرو ، تفاضل هر دو جمله متوالی یکسان است ،پس این دنباله یک دنباله حسابی با قدر نسبت منفی 6 است .

[math] \left[ \begin{array}{l}7 – 13 = – 6 \\1 – 7 = – 6 \\- 5 – 1 = – 6 \\\end{array} \right][/math]

قانون کلی (جمله عمومی):

می دانیم که جملات یک دنباله حسابی (تصاعد حسابی ) بصورت زیر است .دقت کنید در تعریف ذکر کردیم که از جمله دوم به بعد عدد ثابتی به هر جمله دنباله افزوده می شود ، پس:

جمله n ام	……	جمله چهارم	جمله سوم	جمله دوم	جمله اول
[math] {t_1} + (n-1)d [/math]	……	[math] {t_1} + 3d [/math]	[math] {t_1} + 2d [/math]	[math] {t_1} + d [/math]	[math] {t_1}[/math]

نکته :چون جمله اول قدر نسبت [math]d[/math] ندارد و جمله دوم یک [math]d[/math] دارد و جمله سوم [math]2d[/math] دارد و به همین ترتیب هر جمله برابر شماره جمله منهای یک [math]d[/math] دارد برای همین جمله n ام یک دنباله حسابی بصورت زیر است :

[math] {t_n} ={t_1} + (n-1)d [/math]

مثال:در دنباله حسابی زیر جمله شانزدهم را بدست آورید .

[math] 4,11,18,25,……[/math]

چون گفته دنباله حسابی است ، پس اولین کاری که انجام می دهیم اینکه قدر نسبت دنباله حسابی را بدست می آوریم ، برای اینکار کافیست دو جمله متوالی را از هم تفریق کنیم تا قدر نسبت بدست آید ، فرقی نمی کند کدام دو جمله ، مثلا اینجا ما دو جمله دوم و اول را از هم کم می کنیم :

[math]11-4=7[/math]

قدر نسبت ما عدد هفت است ، حالا با دانستن جمله اول که عدد 4 است و دانستن مقدار قدر نسبت که عدد 7 است ، با استفاده از فرمول عمومی برای جمله n ام دنباله حسابی براحتی می توانیم جمله شانزدهم را حساب کنیم :

[math]\left\{ \begin{array}{l}{t_1} = 4 \\d = 7 \\{t_n} = {t_1} + (n – 1)d \\\end{array} \right\} \to {t_{16}} = {t_1} + 15d = 4 + (15)(7) = 109[/math]

نکات و خصوصیات دنباله حسابی (تصاعد حسابی):

1-در دنباله حسابی اگر مقدار ثابت d>0 باشد ، دنباله حسابی صعودی است . و اگر d<0 باشد . دنباله نزولی است .

2-قدر نسبت یعنی همان d را می توان از اختلاف هر دو جمله متوالی دنباله حسابی بدست آورد .

[math] {t_n} – {t_{n – 1}} = d[/math]

3-اگر [math] {t_n} [/math] و [math] {t_m} [/math] دو جمله دلخواه از یک دنباله حسابی (تصاعد حسابی) باشند آنگاه قدر نسبت از رابطه زیر نیز بدست می آید .

[math] d = \frac{{{t_n} – {t_m}}}{{n – m}}[/math]

 

4-واسطه حسابی: چنانچه [math]a,b,c[/math] سه جمله متوالی یک دنباله حسابی باشند ،[math]b[/math] را واسطه حسابی بین [math]a,c[/math] می نامیم و در اینصورت :

[math] b = \frac{{a + c}}{2}[/math]

رابطه بالا از کجا بدست می آید ، جواب خیلی راحته ، ما می دانیم که تفاضل هر دو جمله متوالی یک دنباله حسابی برابر است پس :

[math]\left\{ \begin{array}{l}b – a = d \\c – b = d \\\end{array} \right\} \to b – a = c – b \to 2b = a + c \to b = \frac{{a + c}}{2}[/math]

درج چند واسطه حسابی بین دو عدد :

اگر بین دو عدد [math]a,b[/math] ، بخواهیم [math]n[/math] عدد را طوری قرار دهیم که با این دو عدد تشکیل یک دنباله حسابی دهد . (به طوری که [math]a[/math] جمله اول و [math]b[/math] جمله آخر یا در واقع جمله [math]n+2 [/math] ام باشد ) این عمل را درج واسطه حسابی بین دو عدد [math]a,b[/math] می گوییم و قدر نسبت این دنباله از رابطه زیر بدست می آید :

[math]d=\frac{b-a}{n+1}[/math]

مثال : بین 18 و 62 سه عدد را چنان قرار دهید که پنج عدد حاصل تشکیل دنباله حسابی بدهند؟

با فرض اینکه 18 جمله اول و 62 جمله آخر باشد ، قدر نسبت را باید بدست اوریم :

[math] d = \frac{{62 – 18}}{{3 + 1}} = 11[/math]

حالا که قدر نسبت را بدست اوردیم براحتی می توانیم جملات دنباله را بدست اوریم .

[math] 18,29,40,51,62[/math]

قاعده اندیس ها در دنباله حسابی :

در یک دنباله حسابی همیشه داریم که :

[math]1)m + n = p + q \Rightarrow {t_m} + {t_n} = {t_p} + {t_q} \\2)m – n = p – q \Rightarrow {t_m} – {t_n} = {t_p} – {t_q} \\[/math]

برای این قاعده یک تست حل کرده ایم (تست شماره 7) را ببینید

تمرینات بخش

1-در یک دنباله حسابی ،جملات سوم و هفتم به ترتیب 20 و 56 است .دنباله را مشخص کنید .جمله اول و قدر نسبت آن را بنویسید .

2-در یک دنباله حسابی ،مجموعه سه جمله اول 3 و مجموع سه جمله بعدی آن 39 است .دنباله را مشخص کنید.

3-در دنباله حسابی [math]208,204,….[/math] کدامین جمله صفر است ؟

1)52             2)51             3)54             4)53

4-در یک دنباله حسابی [math] {t_1} = 4 [/math] و[math] {t_{n + 1}} = {t_n} + 3 [/math] جمله n ام کدام است ؟(کنکور سراسری تجربی-68)

1)[math]n+2[/math]    2)[math]3n+1[/math]         3)[math]n+2[/math]     4)[math]2n+2[/math]

5-بین دو عدد 7 و 55 به تعدادهفت جمله طوری نوشته شده است که دنباله حسابی تشکیل شود ،جمله وسط کدام است ؟(آزمایشی سنجش ریاضی-90)

1)29             2)31             3)32             4)33

6-کدام یک از دنباله های زیر یک دنباله حسابی است ؟

[math]1){t_n} = 8n + 1 \\2){t_n} = {n^2} \\3){t_n} = \frac{1}{n} \\4){t_n} = {n^3} + n \\[/math]

 

7-یک دنباله حسابی مفروض است در این دنباله [math] {t_9} + {t_{23}} = 17 [/math] و     [math] {t_{15}} + {t_{37}} = 14 [/math] ، حاصل [math] {t_{16}} + {t_{26}} [/math] کدام است ؟

1)[math] \frac{{29}}{2} [/math]                       2)[math] \frac{{31}}{2} [/math]

3)[math] \frac{{35}}{2} [/math]                       4)[math] \frac{{37}}{2} [/math]

8-چندمین جمله از دنباله حسابی [math]2,5,8,…[/math] برابر 56 است ؟ (سراسری ریاضی -71)

1)18             2)19             3)20             4)21

9-اعداد [math]2p+3,3p+4,5p-1[/math] سه جمله متوالی یک دنباله حسابی هستند .قدر نسبت این دنباله کدام است ؟ (سراسری ریاضی -84)

1)4               2)5               3)6               4)7

10-چند جمله از دنباله حسابی [math] {t_1} = 170,{t_2} = 160 [/math] مثبت است ؟

1)17             2)18             3)20             4)19

برای دیدن پاسخ تمرینات روی همین سطر کلیک کنید (مخصوص کاربران ویژه سایت-حق عضویت)