مجموع بالا و مجموع پایین
در درس قبلی در مورد نحوه محاسبه مساحت زیر یک منحنی با استفاده از تقسیم بندی بازه های زیر منحنی و مستطیل های محاطی و محیطی صحبت کردیم در درس قبل گفتیم برای محاسبه ارتفاع مستطیل ها یکبار نقطه انتهایی بازه را در نظر می گرفتیم و یکبار هم نقطه ابتدایی بازه ، اما الان در این درس می خواهیم با نگاهی دقیق تر به این مساله بپردازیم .
فرض کنید تابع [math]y=f(x)[/math] غیر منفی و پیوسته داشته باشیم که مطابق شکل زیر منحنی آن را داشته باشیم .
می خواهیم مساحت ناحیه زیر منحنی از [math]x=a[/math] تا [math]x=b[/math] را حساب کنیم .برای محاسبه تقریبی مساحت ناحیه مشخص شده زیر منحنی باید بازه [math][a,b][/math] را به n قسمت مساوی تقسیم می کنیم.
[math]\Delta x = \frac{{b – a}}{n}[/math]
ما اینجا بازه های خواهیم داشت به طول [math]\Delta x[/math]
در شکل بالا دقت کنید اگر فرضا بازه [math]\Delta x[/math] نشان داده شده در بالا را نگاه کنید ،چون تابع پیوسته است پس نقاط اکسترمم در این بازه دارد یعنی نقاط ماکسیمم و می نیمم دارد مطابق شکل واضح است که :
[math]{\rm{f(}}{{\rm{m}}_i}{\rm{)}}[/math] مقدار مینیم تابع [math]f(x)[/math] در بازه داده شده و
[math]{\rm{f(}}{{\rm{M}}_i}{\rm{)}}[/math] مقدار ماکسیمم تابع [math]f(x)[/math] در بازه داده شده است.
در مستطیل های محاطی که کاملا زیر منحنی قرار می گیرند [math]{\rm{f(}}{{\rm{m}}_i}{\rm{)}}[/math] نشان دهنده ارتفاع مستطیل است و در مستطیل های محیطی که خارج از منحنی قرار می گیرند [math]{\rm{f(}}{{\rm{M}}_i}{\rm{)}}[/math] ارتفاع مستطیل رسم شده برای هر بازه است .برای همین مساحت هر مستطیل محاطی کوچکتر از مساحت مستطیل محیطی در آن بازه است .به تعبیر دیگر برای هر بازه داریم :
[math]f({m_i})\Delta x \le f({M_i})\Delta x[/math]
اگر در محاسبه مساحت زیر نمودار از مستطیلهای محاطی استفاده شود مقدار به دست امده را مجموع پایین می گوییم:
[math]s(n) = \sum\limits_{i = 1}^n {f({m_i})\Delta x}[/math]
اگر در محاسبه مساحت زیر نمودار از مستطیلهای محیطی استفاده شود مقدار به دست امده را مجموع بالا می گوییم:
[math]S(n) = \sum\limits_{i = 1}^n {f({M_i})\Delta x}[/math]
مثال 1: مساحت زیر نمودار [math] f(x) = {x^2} [/math] را در بازه [math]x=0[/math] تا [math]x=2[/math] حساب کنید .
ابتدا بازه داده شده را باید به n قسمت تقسیم کنیم پس داریم :
[math]\Delta x = \frac{{b – a}}{n} = \frac{{2 – 0}}{n} = \frac{2}{n}[/math]
در حالت اول مطابق شکل فوق از مستطیلهای محاطی و جمع پایین برای محاسبه مساحت استفاده می کنیم ،برای این کار نقاط انتهایی بازه (سمت چپ) را در نظر می گیریم یعنی جمع پایین را می خواهیم حساب کنیم این نقاط به صورت زیر هستند:
[math]{m_i} = 0 + (i – 1)(\frac{2}{n}) = \frac{{2(i – 1)}}{n}[/math]
پس جمع پایین این نقاط به صورت زیر خواهد بود:
در حالت دوم مطابق شکل زیر از مستطیلهای محیطی و جمع بالا برای محاسبه مساحت استفاده می کنیم ،برای این کار نقاط ابتدایی بازه (سمت راست) را در نظر می گیریم یعنی جمع بالا را می خواهیم حساب کنیم این نقاط به صورت زیر هستند:
[math]{M_i} = 0 + i(\frac{2}{n}) = \frac{{2i}}{n}[/math]
پس جمع بالا این نقاط به صورت زیر خواهد بود:
می دانیم که جمع پایین کوچکتر از جمع بالا است یعنی :
[math]s(n) = \frac{8}{3} – \frac{4}{n} + \frac{4}{{3{n^2}}} < \frac{8}{3} + \frac{4}{n} + \frac{4}{{3{n^2}}} = S(n)[/math]
در گام بعدی باید حد هر دو جمع بالا و پایین را وقتی n به سمت بی نهایت میل می کند را بدست آوریم .
[math]\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } s(n) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } (\frac{8}{3} – \frac{4}{n} + \frac{4}{{3{n^2}}}) = \frac{8}{3}\\\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } S(n) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } (\frac{8}{3} + \frac{4}{n} + \frac{4}{{3{n^2}}}) = \frac{8}{3}[/math]
حتما این سوال برای شما مطرح شد که چرا حد را در بی نهایت حساب کردیم .قضیه زیر جواب ما است .
قضیه :هر گاه f تابعی پیوسته و غیر منفی باشد که در بازه [math][a,b][/math] تعریف شده باشد .آنگاه حد [math]n \to \infty[/math] برای هر دو جمع بالا و پایین باید موجود باشدو مساوی باشد در واقع شرط انتگرال پذیر بودن تابع در بازه [math][a,b][/math] اینکه شرط زیر برقرار باشد .
[math]\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } s(n) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {f({m_i}} )\Delta x = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {f({M_i}} )\Delta x = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } S(n)[/math]
محاسبه مساحت زیر یک نمودار
هر گاه f تابعی پیوسته و غیر منفی باشد که در بازه [math][a,b][/math] تعریف شده باشد. مطابق شکل زیر ،آنگاه برای محاسبه مساحت بین a تا b زیر نمودار از فرمول زیر استفاده می کنیم:
[math]\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {f({c_i}} )\Delta x\\{x_{i – 1}} < {c_i} < {x_i}\\\Delta x = \frac{{b – a}}{n}[/math]
مثال 2: مساحت زیر نمودار [math]f(x) = {x^3}[/math] را در بازه [math]x=0[/math] تا [math]x=1[/math] حساب کنید.
ابتدا باید مطمئن شویم که این تابع در این فاصله پیوسته و غیر منفی است .خوب مشخصه که این تابع در این فاصله پیوسته و غیر منفی است . اکنون باید فاصله بازه [math]x=0[/math] تا [math]x=1[/math] را به n قسمت متساوی تقسیم کنیم :
هر نقطه از بازه ما به صورت [math]\frac{i}{n}[/math] خواهد بود پس [math]{c_i} = \frac{i}{n}[/math] در نتیجه طبق توضیح بالا مساحت به صورت زیر محاسبه می شود:
[math]\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {f({c_i})\Delta x = } \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {{{(\frac{i}{n})}^3}\Delta x = } \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {{{(\frac{i}{n})}^3}(\frac{1}{n})} \\= \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{{n^4}}}\sum\limits_{i = 1}^n {{i^3}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{{n^4}}}\left( {\frac{{{n^2}{{(n + 1)}^2}}}{4}} \right)\\= \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\frac{1}{4} + \frac{1}{{2n}} + \frac{1}{{4{n^2}}}} \right) = \frac{1}{4}[/math]
عدد [math]\frac{1}{4}[/math] مساحت ناحیه مورد نظر ما است.
مثال 3:مساحت زیر منحنی [math]f(x) = 4 – {x^2}[/math] را در بازه [math]x=1[/math] تا [math]x=2[/math] حساب کنید
این تابع در این بازه پیوسته و غیر منفی است :
اینجا بازه مورد نظر را به n قسمت مساوی تقسیم می کنیم [math]\Delta x = \frac{1}{n}[/math]
[math]{c_i} = a+i\Delta x=1 + i\Delta x = 1 + \frac{i}{n}[/math]
اکنون مساحت را حساب می کنیم :
[math]\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {f({c_i})\Delta x = } \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {\left[ {4 – {{\left( {1 + \frac{i}{n}} \right)}^2}} \right]} \left( {\frac{1}{n}} \right)\\= \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {3 – \frac{{2i}}{n} + \frac{{{i^2}}}{{{n^2}}}} \right)} \left( {\frac{1}{n}} \right)\\= \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {3 – \frac{2}{{{n^2}}}\sum\limits_{i = 1}^n {i – \frac{1}{{{n^3}}}\sum\limits_{i = 1}^n {{i^3}} } } } \right)\\= \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left[ {3 – (1 + \frac{1}{n}) – (\frac{1}{3} + \frac{1}{{2n}} + \frac{1}{{6{n^2}}})} \right]\\= 3 – 1 – \frac{1}{3} = \frac{5}{3}[/math]
خوب تا اینجا به نظر من کافیه ما تا اینجا بررسی کردیم که اگر انتگرال نباشه با استفاده از مستطیلهای محاطی و محیطی و حد مجموع مساحا این مستطیل می توانیم مساحت زیر یک منحنی را بدست اوریم . اینها در واقع مقدماتی است تا در نهایت برسیم به جایی که بتوان فهمید که اصل انتگرال و نحوه مسحاسبه مساحتهای زیر منحنی توسط انتگرال مبتنی بر چه منطقی می باشد.