تابع نمایی
مقدمه
حتما این سوال برای شما هم مطرح شده که دانشمندان چگونه می توانند قدمت یک شی باستانی را حدس بزنن ؟ در بدن هر موجود زنده کربن 14 وجود دارد .که با مرگ این موجود ،کربن 14 شروع به از بین رفتن می کند لذا دانشمندان با اندازه گیری باقی مانده این کربن ،می توانند سن آن شی را پیدا کنند.و در واقع در حل این گونه مسائل از تابع نمایی استفاده می کنند.
مثال: فرض کنید یک توده باتری در یک محیط کشت قرار گرفته است.جرم این باکتری در هر ساعت دو برابر می شود . اگر جرم باکتری ها را پس از t ساعت با m(t) نشان دهیم و با 1 گرم شروع کنیم می دانیم که در لحظه آغاز [math]m(0)=1[/math] آنگاه بر حسب زمانی رشد جرم باکتری بصورت جدول زیر حواهد بود:
M(t) جرم باکتری ها | t زمان (ساعت) |
1 | 0 |
2 | 1 |
4 | 2 |
8 | 3 |
16 | 4 |
32 | 5 |
64 | 6 |
128 | 7 |
256 | 8 |
512 | 9 |
1024 | 10 |
اکنون این نقاط بدست آمده را روی یک نمودار رسم می کنیم
اکنون اگر به جدول بدست آمده بالا دقت کنید می بینید که بین زمان و جرم یک رابطه توانی وجود دارد که ما بر اساس آن می توانیم جدول بالا را بصورت زیر بازنویسی کنیم
(m(tجرم باکتری ها | t زمان (ساعت) |
[math] {2^0} [/math] | 0 |
[math] {2^1} [/math] | 1 |
[math] {2^2} [/math] | 2 |
[math] {2^3} [/math] | 3 |
[math] {2^4} [/math] | 4 |
[math] {2^5} [/math] | 5 |
[math] {2^6} [/math] | 6 |
[math] {2^7} [/math] | 7 |
[math] {2^8} [/math] | 8 |
[math] {2^9} [/math] | 9 |
[math] 2^{10}[/math] | 10 |
یعنی می توان فرم کلی [math] {2^n} [/math] را برای مثال بالا بدست آورد که با استفاده از آن در هر زمانی می توانیم با استفاده از این رابطه جرم باکتری را حساب کنیم.
تا اینجای کار ما یه فرمول یا رابطه بدست آوردیم اما حالا میخواهیم کم کم همین رابطه بدست آمده را بصورت تابع بررسی کنیم .لذا باید به ازای مقادیری که توان منفی می شود نیز مساله را بررسی کنیم پس فرض می کنیم که رابطه ای [math]f(x)= {2^x} [/math] داریم اکنون مقادیر مختلف مثبت و صفر و منفی x را در جدول زیر مشاهده می کنید.
2 | [math] \frac{3}{2} [/math] | 1 | [math] \frac{1}{2} [/math] | [math] \frac{1}{3} [/math] | 0 | -1 | -2 | -3 | x |
[math] {2^2} [/math] | [math] {2^{\frac{3}{2}}} [/math] | [math] {2^1} [/math] | [math] {2^{\frac{1}{2}}} [/math] | [math] {2^{\frac{1}{3}}} [/math] | [math] {2^0} [/math] | [math] {2^{-1}} [/math] | [math] {2^{-2}} [/math] | [math] {2^{-3}} [/math] | [math] {2^x} [/math] |
[math]4[/math] | [math] \sqrt[2]{{{2^3}}} = 2.83 [/math] | [math]2[/math] | [math] \sqrt 2 = 1.4 [/math] | [math]\sqrt[3]{2} = 1.26[/math] | [math] 1 [/math] | [math] \frac{1}{2} [/math] | [math] \frac{1}{4} [/math] | [math] \frac{1}{8} [/math] | [math] f(x)[/math] |
اکنون این نقاط را بر روی نمودار رسم می کنیم
یکی از چیزهای جالبی که در این نمودار مشاهده می کنیم رسم نقطه
[math] \left( {\frac{1}{3},\sqrt[3]{2}} \right),\left( {\frac{1}{2},\sqrt 2 } \right) [/math]
در واقع ما با رسم دو نقطه فوق مقدار تقریبی [math] \sqrt 2 ,\sqrt[3]{2} [/math] را روی نمودار بدست آوردیم.
با استفاده از این نمودار می توان خیلی از نقاط را بدست آورد مثلا مقدار تقریبی [math] {2^{\sqrt 7 }} [/math] را می توان با بدست آوردن مقدار تقریبی رادیکال 7 ,
[math] \sqrt 7 [/math] را روی محور xها مشخص کنید و سپس مقدار [math] {2^{\sqrt 7 }} [/math] تقریبی آن روی محور y ها با استفاده از نمودار [math] {2^x} [/math] بدست آوریم.
با این مقدمه طولانی دیدیم که توابعی وجود دارند که توان آنها متغیر است مثلا همین مثال بالا که [math] {2^x} [/math] بود .
تعریف تابع نمایی
هر گاه تابع با ضابطه [math] f(x) = {a^x} [/math] که در آن [math]a[/math] عددی مثبت و مخالف یک باشد را یک تابع نمایی می نامیم .
خصوصیات این تابع به مقدار [math]a[/math] بستگی دارد:
اگر [math]a=1[/math] نمودار یک خط افقی در [math]y=1[/math] می شود.
در فیلم زیر حالت [math]0<a<1[/math] را برای تابع نمایی [math] f(x) = {a^x} [/math] بررسی می کنیم
از حالت a=1 آغاز می کنیم و a را کاهش می دهیم و در بازه [math]0<a<1[/math] تغییرات نمودار را مشاهده می کنید
حالت بعدی به ازای [math]a>1[/math] می خواهیم بررسی کنیم از حالت a=1 آغاز می کنیم و a را افزایش می دهیم و در بازه [math]a>1[/math] تغییرات نمودار را مشاهده می کنید
پس به طور کلی به طور کلی توابع نمایی به سه حالت زیر تقسیم می شوند:
مثال 1: نمودار تابع [math] y = {2^x},y = {(\frac{1}{2})^x} [/math] را بررسی کنید
الف )نمودار تابع [math] y = {2^x} [/math] بر اساس حالت [math]0<a<1[/math] ذکر شده در بالا خواهد بود و همه خصوصیات این نمودار را دارد برخی نقاط این نمودار بصورت جدول زیر خواهند بود :
E | D | C | B | A | نقطه |
2 | 1 | 0 | -1 | -2 | X |
[math] 4[/math] | [math] 2[/math] | [math] 1[/math] | [math] \frac{1}{2} [/math] | [math] \frac{1}{4} [/math] | y |
این نقاط در نمودار زیر نشان داده شده اند
ب )نمودار تابع [math] y = (\frac{1}{2})^x [/math] بر اساس حالت [math] a>1[/math] ذکر شده در بالا خواهد بود و همه خصوصیات این نمودار را دارد برخی نقاط این نمودار بصورت جدول زیر خواهند بود :
E | D | C | B | A | نقطه |
2 | 1 | 0 | -1 | -2 | X |
[math] \frac{1}{4} [/math] | [math] \frac{1}{2} [/math] | [math] 1[/math] | [math] 2 [/math] | [math] 4 [/math] | y |
1–نمودار توابع [math] g(x) = {3^{x + 1}},h(x) = {3^x} – 2,k(x) = – {3^x},j(x) = {3^{ – x}} [/math] را رسم کنید .
2–تابع نمایی [math] y = {({m^2} – 1)^x} [/math] به ازای چه مقادیری صعودی است ؟
3–نمودار های دو تابع [math] f(x) = {3^{ax + b}},g(x) = {(\frac{1}{9})^x} [/math] در نقطه ای به طول [math]-1[/math] متقاطع هستند . اگر [math] f(2) = \frac{1}{3} [/math] باشد. مقدار [math] {f^{ – 1}}(27) [/math] .کدام است ؟(کنکور ریاضی -95)
1)[math]-3[/math] 2) [math]-2[/math] 3) [math]1[/math] 4) [math] 3[/math]
4–نمودارهای دو تابع [math] y = {3^x} + \frac{8}{3},y = {(\frac{{\sqrt 3 }}{3})^{2x}} [/math] در نقطه A متقاطع اند.فاصله نقطه A از نقطه [math] \left( { – 1,1} \right) [/math] کدام است ؟
1)[math]1[/math] 2)[math] \sqrt 2 [/math] 3)[math]2[/math] 4)[math] \sqrt 5 [/math]
(کنکور ریاضی-96)
5–اگر [math] f(x) = 1 – {(\frac{1}{2})^x} [/math] باشد،دامنه تابع [math] y = \sqrt {xf(x)} [/math] کدام بازه است ؟ ( کنکور ریاضی-93)
[math]1)[ – 1,1]\\ 2)( – \infty ,0)\\ 3)( – \infty , + \infty )\\ 4)(0, + \infty ) [/math]
6–نمودار تابع [math] f(x) = 3 – {(\frac{1}{2})^{ – x}} [/math] را رسم کنید.