رفع ابهام با قاعده هوپیتال

قاعده هوپیتال

اگر [math]f,g[/math] دو تابع مشتق پذیر در نقطه [math]x=a[/math] باشند ،  و حد این دو تابع در این نقطه برابر صفر باشد یعنی :

[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} g(x) = 0[/math]

و یا برابر بی نهایت باشد یعنی :

[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} g(x) = \infty [/math]

بطوری که تقسیم (کسر ) این دو تابع بصورت زیر باشد :

[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = \frac{0}{0} [/math]

 و یا بصورت زیر باشد

[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = \frac{\infty }{\infty } [/math]

می توانیم برای محاسبه حد از قاعده هوپیتال استفاده کنیم ، به تعبیری دیگر هر گاه حاصل حد ما بصورت زیر باشد :

[math] \frac{0}{0} [/math] یا بصورت  [math] \frac{\infty }{\infty } [/math] باشد باید از قاعده هوپیتال بصورت زیر استفاده کنیم :

[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f'(x)}}{{g'(x)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f”(x)}}{{g”(x)}} = ……[/math]

نکته مهم :در حدهای با نوع ابهام [math] 0 \times \infty  [/math] می توان با کمی تغییر آن را بصورت[math] \frac{0}{0} [/math]  و یا بصورت [math] \frac{\infty }{\infty } [/math] تبدیل کرده و سپس با استفاده از قاعده هوپیتال آن را حل کنیم .

برای مثال فرض می کنیم [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = 0 [/math]  و [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to a} g(x) = \infty  [/math] در این صورت برای محاسبه

[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to a} (f(x).g(x)) = 0 \times \infty  [/math]

به یکی از صورتهای زیر عمل می کنیم :

[math]1)\mathop {\lim }\limits_{x \to a} (f(x).g(x)) = 0 \times \infty  \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x)}}{{\frac{1}{{g(x)}}}} = \frac{0}{0} \\  \\2)\mathop {\lim }\limits_{x \to a} (f(x).g(x)) = 0 \times \infty  \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{g(x)}}{{\frac{1}{{f(x)}}}} = \frac{\infty }{\infty } \\[/math]

اکنون برای فهم بهتر مطلب چند مثالی را با هم حل می کنیم:

[math] 1)\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x – 4\sqrt x  + 3}}{{{x^2} – 1}} = \frac{0}{0} [/math]

برای حل و رفع ابهام به روش قاعده هوپیتال از صورت و مخرج مشتق می گیریم :

[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x – 4\sqrt x  + 3}}{{{x^2} – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{1 – \frac{4}{{2\sqrt x }}}}{{2x}} = \frac{{1 – 2}}{2} =  – \frac{1}{2} \\[/math]

[math]2)\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x – \sin x}}{{{x^3}}} = \frac{0}{0} \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x – \sin x}}{{{x^3}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{(x – \sin x)’}}{{({x^3})’}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 – \cos x}}{{3{x^2}}} = \frac{0}{0} \\[/math]

دقت کنید در مثال بالا با یک بار مشتق گیری باز هم به نتیجه مبهم صفر صفرم رسیدیم ، پس طبق قاعده هوپیتال باز هم مشتق می گیریم .

[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 – \cos x}}{{3{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{(1 – \cos x)’}}{{(3{x^2})’}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{{6x}} = \frac{0}{0}[/math]

باز هم با اینکه برای دومین باز مشتق گرفتیم ولی باز هم به نتیجه صفر صفرم رسیدیم پس برای بار سوم مشتق می گیریم.

[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{{6x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{(\sin x)’}}{{(6x)’}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos x}}{6} = \frac{1}{6}[/math]

تمرینات حل شده بخش

[math]1)\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x – \sqrt x }}{{\sqrt x – 1}} = ? \\[/math]

2-اگر [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to – 3} \frac{{ax + 3a}}{{1 – \sqrt {5x + 16} }} = 2[/math] باشد آنگاه a کدام است ؟ (تست کنکور)

[math]3)\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin ax – \sin bx}}{{ax – bx}} = ? \\4) \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{x^2}}}{{{2^x}}} = ? \\[/math]

5-اگر [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^n} – (n + 1)x + n}}{{{{(x – 1)}^2}}} = 10[/math] آنگاه مقدار [math]n[/math] را بدست آورید.

[math]6)\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{4}} \frac{{2 + 2\cos 4\pi x}}{{{{(4x – 1)}^2}}} = ? \\[/math]

[math]7)\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} (2 – \sqrt x )\tan \frac{{\pi x}}{8} = ? \\[/math]

[math]8)\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{(1 + mx)}^n} – {{(1 + nx)}^m}}}{{{x^2}}} = ? \\[/math]

برای دیدن پاسخ این تمرینات اینجا را کلیک کنید