توابع رادیکالی (تابع ریشه دوم)
توابع رادیکالی (تابع ریشه دوم)
توابع رادیکالی ،توابعی هستند که به هر عدد ریشه دوم نامنفی آن را نظیر می کنند و به صورت
[math] f(x) = \sqrt x [/math] یا [math] y = \sqrt x [/math] نمایش می دهند ،نمودار ون زیر نشان دهنده نمونه ای از این تابع است .
دقت کنید که اعداد منفی ریشه دوم ندارند برای همین دامنه تابع [math] f(x) = \sqrt x [/math] برابر اعداد حقیقی نامنفی است یعنی : [math] {D_f} = [0, + \infty ) [/math]
اکنون با توجه به اینکه دامنه تابع برابر مجموعه اعداد حقیقی نامنفی بود ، با استفاده از سم چند نقطه می توانیم نمودار این تابع را بصورت زیر رسم کنیم
[math]x[/math] | [math]y[/math] |
[math]0[/math] | [math]f(0)= \sqrt 0 [/math] |
[math]1[/math] | [math]f(1)= \sqrt 1 [/math] |
[math] \sqrt 2 [/math] | [math]f(2)= \sqrt 2 [/math] |
[math] \sqrt 3 [/math] | [math]f(3)= \sqrt 3 [/math] |
[math]2[/math] | [math]f(4)= \sqrt 4 [/math] |
[math] \sqrt 5 [/math] | [math]f(5)= \sqrt 5 [/math] |
اکنون نقاط بالا را روی محور مختصات نشان می دهیم و پس از وصل کردن این نقاط به هم نمودار تابع بدست می آید.
به کمک نمودار تابع [math] y = \sqrt x [/math] نمودار چهار تابع زیر را بدست آورید :
[math] g(x) = \sqrt x + 3\\ h(x) = \sqrt x – 3\\ p(x) = \sqrt {x – 3} \\ q(x) = \sqrt {x + 3} [/math]
یادآوری جدول شماره 1
تابع جدید | نحوه تبدیل | نتیجه |
[math]y=f(x)+a[/math] | به عرض نقاط a واحد اضافه می شود | نمودار به اندازه a واحد بالا می رود |
[math]y=f(x)-a[/math] | به عرض نقاط a واحد کم می شود | نمودار به اندازه a واحد پایین می رود |
[math]y=f(x+a) [/math] | از طول نقاط a واحد کم می شود | نمودار به اندازه a واحد به عقب می رود |
[math]y=f(x-a) [/math] | به طول نقاط a واحد اضافه می شود | نمودار به اندازه a واحد به جلو می رود |
1-بررسی نمودار [math] g(x) = \sqrt x + 3 [/math] با توجه به جدول بالا به عرض نقاط 3 واحد اضافه می شود و نمودار به اندازه 3 واحد روی محور y ها بالا می رود. مطابق شکل زیر
مثلا نقاط زیر را ببینید چگونه تبدیل شده اند .
نقطه | تبدیل می شود به |
[math](1,1)[/math] | [math](1,4)[/math] |
[math](4,2)[/math] | [math](4,5)[/math] |
این نقاط در نمودار زیر با فلاش روی دو نمودار نمایش داده شده اند .
در نمودار بالا من دو نقطه را امتحان کردم و دیدم که مقدار y آنها در نمودار
[math] g(x) = \sqrt x + 3 [/math] به اندازه 3 واحد افزایش پیدا کرد و همچنین نمودار به اندازه 3 واحد روی محور y ها بالاتر رفت .
2-بررسی نمودار [math] h(x) = \sqrt x – 3 [/math] با توجه به جدول بالا به عرض نقاط 3 واحد کم می شود و نمودار به اندازه 3 واحد روی محور y ها پایین می رود. مطابق شکل زیر
نقطه | تبدیل می شود به |
[math](1,1)[/math] | [math](1,-2)[/math] |
[math](4,2)[/math] | [math](4,-1)[/math] |
این نقاط در نمودار زیر با فلاش روی دو نمودار نمایش داده شده اند .نمودار بنفش رنگ را مشاهده کنید.
در شکل بالا من نمودار سه تابع
[math] f(x) = \sqrt x ,g(x) = \sqrt x + 3,h(x) = \sqrt x – 3 [/math] را با رنگهای مختلف نمایش داده ام و طبق جدول شما می توانید رفتار تابع و نحوه انتقال آن را مشاهده کنید.
3-بررسی نمودار [math] p(x) = \sqrt {x – 3} [/math] با توجه به جدول بالا از طول نقاط 3 واحد کم می شود و نمودار به اندازه 3 واحد به عقب می رود
نقطه | تبدیل می شود به |
[math](1,1)[/math] | [math](-2,1)[/math] |
[math](4,2)[/math] | [math](1,2)[/math] |
4-بررسی نمودار [math] p(x) = \sqrt {x + 3} [/math] با توجه به جدول بالا به طول نقاط 3 واحد اضافه می شود و نمودار به اندازه 3 واحد به جلو می رود
خوب من در شکل بالا تمام نمودارهای داده شده مساله را با رنگها متفاوت رسم کرده ام که به سادگی و با استفاده از جدول شماره 1 می توانید نحوه رسم هر کدام را بدانید.
دامنه توابع رادیکالی با فرجه زوج (ریشه دوم و بالاتر زوج)
می دانیم که زیر رادیکال نمی تواند منفی باشد و فقط می تواند مثبت یا صفر باشد.بنابر این برای تعیین دامنه توابع رادیکالی با فرجه زوج ابتدا عبارت زیر رادیکال را تعیین علامت می کنیم و سپس مقادیری که به ازای آن عبارت زیر رادیکال منفی می شود را حذف می کنیم.اینجا با حل چند مثال مطلب را بهتر متوجه خواهیم شد.
مثال 1:دامنه [math] f(x) = \sqrt {x – 1} [/math] را تعیین کنید.
چون رادیکال با فرجه زوج هست پس زیر رادیکال باید بزرگتر یا مساوی صفر باشد پس :
[math] x – 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1 \Rightarrow {D_f} = [1, + \infty ) [/math]
مثال 2:دامنه تابع با ضابطه [math] f(x) = \sqrt {2 – x – {x^2}} [/math] را تعیین کنید.
[math] 2 – x – {x^2} \ge 0 \Rightarrow {x^2} + x – 2 \le 0 [/math]
معادله درجه دو دارای دوریشه -2 و 1 است با تعیین علامت این نامعادله جواب بدست می آید .
[math] + \infty [/math] | 1 | -2 | [math] – \infty [/math] | x | |
+ | 0 | – | 0 | + | [math] {x^2} + x – 2 [/math] |
مطابق جدول بالا دامنه تابع بصورت زیر است :
[math] {x^2} + x – 2 \le 0 \Rightarrow {D_f} = [ – 2,1] [/math]
مثال3 :دامنه تابع با ضابطه [math] f(x) = \frac{{\sqrt {|x|} }}{{\sqrt {x – 2} + \sqrt x }} [/math] را تعیین کنید.
برای صورت می دانیم چون زیر رادیکال قدر مطلق است پس همواره نامنفی است .
[math] |x| \ge 0 [/math]
اما برای مخرج باید بدانیم اولا چون کسری هست پس باید ریشه های مخرج حذف شوند ، دوم چون رادیکالی هست پس باید نامنفی باشند لذا :
[math] \left\{ \begin{array}{l} \sqrt {x – 2} \ge 0 \to x – 2 \ge 0 \to x \ge 2\\ \sqrt x \ge 0 \to x \ge 0 \end{array} \right\} \Rightarrow x \ge 2 [/math]
مثال4 :دامنه تابع با ضابطه [math] f(x) = \sqrt {4 – \sqrt {2x – 1} } [/math] را تعیین کنید.
چون تابع دارای دو رادیکال تو در تو است ،لذا هر دو رادیکال باید نامنفی باشند پس :
[math] 1)2x – 1 \ge 0 \to x \ge \frac{1}{2}\\ \\ 2)4 – \sqrt {2x – 1} \ge 0 \to 4 \ge \sqrt {2x – 1} \to 16 \ge 2x – 1 \to x \le \frac{{17}}{2} [/math]
دامنه تابع از اشتراک گزینه 1 و 2 بدست می آید :
[math] {D_f} = \frac{1}{2} \le x \le \frac{{17}}{2} [/math]
مثال5 :دامنه تابع با ضابطه [math] f(x) = \sqrt {\frac{{x – 1}}{{x – 3}}} + \sqrt {\frac{{2 – x}}{x}} [/math] را تعیین کنید.
هر دو رادیکال را باید جداگانه تعیین علامت کنیم و سپس از اشتراک آنها دامنه را حساب کنیم پس
اول [math] \frac{{x – 1}}{{x – 3}} \ge 0 [/math]
3 | 1 | x | |||
+ | + | 0 | – | x-1 | |
+ | 0 | – | – | x-3 | |
+ | – | + | کل عبارت کسری |
طبق جدول بالا دامنه بخش اول برابر با : [math] {D_1} = ( – \infty ,1] \cup (3, + \infty ) [/math]
بخش دوم کسر :[math] \frac{{2 – x}}{x} \ge 0 [/math]
2 | 0 | x | |||
– | 0 | + | + | 2-x | |
+ | + | 0 | – | x | |
– | + | – | کل عبارت کسری |
طبق جدول بالا دامنه بخش دوم : [math] {D_2} = (0,2] [/math]
اکنون از اشتراک دو دامنه بدست آمده دامنه تابع تعیین می شود
[math] {D_f} = {D_1} \cap {D_2} = (0,1] [/math]
مثال6 :دامنه تابع با ضابطه [math] f(x) = \frac{1}{{\sqrt { – 2[{x^2}] + 5[x] – 2} }} [/math] را تعیین کنید.
چون زیر رادیکال هست و کسری هست پس فقط باید بزرگتر از صفر باشد و نمی تواند برابر صفر را در نظر بگیریم چون مخرج را صفر می کند پس به ازای بزرگتر از صفر بررسی می کنیم:
[math] – 2[{x^2}] + 5[x] – 2 > 0 \Rightarrow 2[{x^2}] – 5[x] + 2 < 0\\ (2[x] – 1)([x] – 2) < 0 [/math]
عبارت بالا زمانی برقرار است که [math] (2[x] – 1)([x] – 2) < 0 \to \frac{1}{2} < [x] < 2 [/math] که از این و با استفاده از خصوصیات جز صحیح نتیجه می گیریم که [math][x]=1[/math] می باشد پس دامنه تابع [math] 1 \le x < 2 [/math]