روش هندسی حل معادلات
روش هندسی حل معادلات
اگر [math]f(x),g(x)[/math] دو تابع باشند ، طول نقاط تلاقی نمودارهای این دو تابع جوابهای معادله [math]f(x)=g(x)[/math] خواهد بود و بالعکس ،هر جواب این معادله طول یکی از نقاط تلاقی این دو نمودار است.
مثال 1: به روش هندسی معادله [math] |x| = {x^2} – 2x [/math] را حل کنید.
می دانیم که نمودار قدر مطلق ایکس بصورت زیر است .
پس از رسم نمودار قدر مطلق اکنون نوبت به رسم نمودار [math] {x^2} – 2x [/math] می رسد . این یک معادله درجه دوم است و در واقع نمودار آن یک سهمی است.
اگر نحوه رسم سهمی را فراموش کرده اید حتما مطلب زیر را مطالعه کنید
1-تعیین علامت a و دهانه سهمی:
دیدیم که a=1 است و بزرگتر از صفر است یعنی مثبت بود پس دهانه سهمی رو به بالا است .
2-بدست آوردن مختصات راس سهمی:) اسم راس سهمی را A می گذاریم)
[math] \left( { – \frac{b}{{2a}},\frac{{4ac – {b^2}}}{{4a}}} \right) \to \left( { – \frac{{ – 2}}{2},\frac{{4 \times 1 \times 0 – {{( – 2)}^2}}}{4}} \right) = \left( {1, – 1} \right)\\[/math]
اکنون راس سهمی هم بدست آوردیم حالا
3-بدست آوردن محل برخورد سهمی با محورها
الف )تقاطع سهمی با محور y ها
[math] \left( {0,c} \right) \to \left( {0,0} \right) [/math]
ب)تقاطع سهمی با محور x ها را حساب می کنیم:
اینجا در واقع باید ریشه های معادله درجه دوم را حساب کنیم
[math]{x^2} – 2x = x(x – 2) = 0 \to \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right\}[/math]
اکنون با داشتن نقاط بالا می توانیم سهمی را رسم کنیم .
طبق شکل بالا نقطع تقاطع دو نمودار [math](3,3)[/math] است . و دیدیم که چگونه با رسم نمودار توانستیم به راحتی جواب معادله را بدست آوریم .
مثال 2: تعداد و مقدار تقریبی ریشه های معادله [math] |x – 1| = {x^2} – x – 1 [/math] را با استفاده از روش هندسی بدست آورید.
ابتدا سعی می کنم روش رسم [math] |x – 1| [/math] بیان کنم ، در مثال قبل روش رسم قدر مطلق ایکس را دیدیم ، الان برای رسم [math] |x – 1| [/math] کافیست نمودار را یک واحد به سمت ایکسهای مثبت جابجا کنیم .
می توانید مطلب زیر را مطالعه کنید
در فیلم زیر من معادله [math] |x – k| [/math] را نمایش می دهم که چگونه با کم و زیاد شدن مقدار k نمودار ما روی محور ایکس ها جابجا می شود .
پس با این توضیحات نمودار [math] |x – 1| [/math] را رسم می کنیم.
اکنون نوبت به رسم نمودار معادله درجه دوم [math] {x^2} – x – 1 [/math] است . طبق روشی که در مثال قبل گفتیم
-تعیین علامت a و دهانه سهمی:
دیدیم که a=1 است و بزرگتر از صفر است یعنی مثبت بود پس دهانه سهمی رو به بالا است .
2-بدست آوردن مختصات راس سهمی:) اسم راس سهمی را A می گذاریم)
[math]{x^2} – x – 1\\\left( { – \frac{b}{{2a}},\frac{{4ac – {b^2}}}{{4a}}} \right) \to \left( { – \frac{{ – 1}}{2},\frac{{ – 4 – 1}}{4}} \right) \to \left( {\frac{1}{2},\frac{5}{4}} \right)\\[/math]
اکنون راس سهمی هم بدست آوردیم حالا
3-بدست آوردن محل برخورد سهمی با محورها
الف )تقاطع سهمی با محور y ها
[math] (0,c) \to (0, – 1) [/math]
ب)تقاطع سهمی با محور x ها را حساب می کنیم:
اینجا در واقع باید ریشه های معادله درجه دوم را حساب کنیم
[math]{x_1} = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2},{x_2} = \frac{{1 – \sqrt 5 }}{2}[/math]
اکنون با داشتن نقاط بالا می توانیم سهمی را رسم کنیم .
طبق شکل بالا هر دو نمودار در نقطه B همدیگر را قطع می کنند. و x=2 ریشه این معادله خواهد بود.