صفرهای تابع در جه دوم
صفرهای تابع
صفرهای تابع در واقع همان ریشه های تابع هستند. اگر ضابطه [math]y=f(x)[/math] باشد. آنگاه نقاط برخورد تابع با محور [math]x[/math] ها را صفرهای تابع می نامیم.این [math]x[/math] ها در دامنه تابع قرار دارند و اگر نمودار تابع را رسم کنیم محل تلاقی نمودار با محور [math]x[/math] ها است.
صفرهای تابع درجه 2
ما در اینجا بطور خاص صفرهای تابع درجه دوم را می خواهیم بررسی کنیم . از مطالب گذشته و از معادله درجه دوم دانستیم که صفرهای تابع درجه دوم [math] f(x) = a{x^2} + bx + c[/math] در واقع ریشه های معادله درجه دوم[math]a{x^2} + bx + c=0[/math] می باشند . این ریشه ها بستگی به علامت[math]\Delta[/math] دارند .
مثال1 :صفرهای تابع [math] {x^2} – 3x + 2 = 0[/math] را بیابید.
ابتدا با استفاده از روش دلتا ،ریشه های این معادله را حساب می کنیم .
[math]\Delta = {b^2} – 4ac = {( – 3)^2} – 4(1)(2) = 9 – 8 = 1 > 0\\{x_1} = \frac{{ – b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{3 + 1}}{2} = 2\\{x_2} = \frac{{ – b – \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{3 – 1}}{2} = 1[/math]
می بینیم که عددهای [math]1,2[/math] ریشه های این معادله هستند و در واقع صفرهای این تابع درجه دو هستند.حالا اگر نمودار این تابع را رسم کنیم باز طبق شکل زیر محل تلاقی نمودار با تابع نقاط [math]x=1,x=2[/math] هستند .
ما در مثال بالا ساده ترین حالت را در نظر گرفتیم که یک معادله درجه دوم داریم و براحتی مطالبق روشهای معمول معادله درجه دوم ریشه های آن را بدست آوردیم که اینها همان صفرهای تابع درجه دو بودند ، ویا وقتی نمودار معادله را رسم کردیم ، دیدیم هر جا که نمودار ،محور x ها را قطع کرد آنجا صفر تابع بود . اما برای بدست آوردن صفرهای تابع چند روش دیگر هم وجود دارد که در ادامه آنها را توضیح می دهیم .
روشهای بدست آوردن صفرهای تابع
1-مشخص بودن یکی از صفرهای تابع و بدست آوردن سایر صفرهای تابع
2-تغییر متغیر مناسب
3-روش هندسی حل معادلات
ما در این مطلب 2 تا روش اول را توضیح می دهیم و روش سوم را در مطلب بعدی مفصل خواهیم گفت .
1-مشخص بودن یکی از صفرهای تابع و بدست آوردن سایر صفرهای تابع
این روش برای توابع بالاتر از درجه 2 کاربرد دارد ، در واقع این روش برای توابع چند جمله ای است .مثلا اگر فرض کنیم یکی از صفرهای تابع یا در واقع یکی از ریشه های تابع ما برابر [math]x=a[/math] باشد ،یعنی در واقع چند جمله ای ما عاملی بصورت [math]x-a[/math] دارد که می توان به زبان ریاضی به صورت زیر نوشت .
فرض کنید [math]p(x)[/math] یک چند جمله ای باشد و [math]x=a[/math] ریشه تابع یا در واقع صفر تابع باشد آنگاه [math]x-a[/math]عامل چند جمله [math]p(x)[/math] می باشد یعنی :
[math]p(x)=(x-a)Q(x)[/math]
خواهد بود . بنابراین برای بدست آوردن سایر صفرهای تابع چند جمله ای [math]P(x)[/math] کافیست صفرهای تابع چند جمله ای [math]Q(x)[/math] را بدست آوریم.
مثال 2:اگر [math]x=2[/math] یکی از صفرهای تابع [math] P(x) = {x^3} – {x^2} – 4x + 4[/math] باشد.سایر صفرهای تابع را در صورت وجود بیابید.
طبق توضیحاتی که دادیم چون [math]x=2[/math] یکی از صفرهای چند جمله ای [math]P(x)[/math]بود پس [math]x-2[/math] عاملی از چند جمله ای داده شده است .پس باید این چند جمله ای [math]P(x)[/math] را بر [math]x-2[/math] تقسیم کنیم .
با توجه به تقسیمی که انجام دادیم پس چند جمله ای ما بصورت :
[math] P(x) = (x – 2)({x^2} + x – 2) [/math]
خواهد بود ، اکنون عبارت درجه دوم را می توان به راحتی حل کرد که ریشه های این عبارت برابر است با
[math](x – 2) = 0 \Rightarrow x = 2\\{x^2} + x – 2 = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = – 2\\x = 1\end{array} \right\}[/math]
صفرهای تابع براحتی بدست آمدند.
2-تغییر متغیر مناسب
در برخی از معادلات می توان با در یک متغیر جدید،معادله را به معادله دیگری تبدیل کنیم .معادله جدید بدست آمده عموما ساده تر خواهد بود که پس از حل معادله جدید ، جوابهای بدست آمده را در عبارت تغییر متغیر قرار می دهیم تا جواب معادله اصلی را بدست آوریم .
مثال 3: صفرهای تابع [math] {({x^2} – 1)^2} – 2({x^2} – 1) + 1 [/math] را بدست آورید .
برای حل این معادله می توان از تغییر متغیر [math] {x^2} – 1 = t [/math] استفاده کرد .و تابع ما بصورت زیر خواهد بود:
[math]\left\{ \begin{array}{l}{({x^2} – 1)^2} – 2({x^2} – 1) + 1\\{x^2} – 1 = t\end{array} \right\} \to {t^2} – 2t + 1 = 0[/math]
معادله جدید بدست آمده خیلی راحت حل می شود در واقع اتحاد است پس :
[math] {t^2} – 2t + 1 = {(t – 1)^2} \Rightarrow t – 1 = 0 \Rightarrow t = 1[/math]
جواب بدست آمده را در تغیر متغیر قرار می دهیم تا جواب معادله اولیه را حساب کنیم .
[math]\left\{ \begin{array}{l}t = 1\\{x^2} – 1 = t\end{array} \right\}{x^2} – 1 = 1 \Rightarrow {x^2} = 2 \Rightarrow x = \pm \sqrt 2[/math]
مثال 4:جوابهای معادله [math] {x^4} – 14{x^2} +45 = 0 [/math] را حل کنید.صفرهای این تابع را حساب کنید.
ابتدا با تغییر متغیر بصورت [math] {x^2}=t [/math] معادله درجه دومی به صورت
[math]\left\{ \begin{array}{l}{x^4} – 14{x^2} +45 = 0\\{x^2} = t\end{array} \right\} \to {t^2} – 14t +45 = 0[/math]
در این معادله دلتا [math] \Delta > 0 [/math] پس معادله دارای دوریشه حقیقی است .
[math]\Delta > 0 \to \left\{ \begin{array}{l}{t_1} = 5\\{t_2} = 9\end{array} \right\}[/math]
پس با استفاده از تغییر متغیر خواهیم داشت
[math]\left\{ \begin{array}{l}{t_1} = 5\\{t_2} = 9\end{array} \right\} \to \left\{ {{x^2} = t} \right\} \to \left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 5 \to x = \pm \sqrt 5 \\{x^2} = 9 \to x = \pm 3\end{array} \right\}[/math]
صفرهای تابع بدست آمدند.