واسطه حسابی و هندسی
جزوه کامل مبحث الگوها ،دنباله ها و دنباله های حسابی و هندسی
واسطه حسابی و هندسی
ما در مطالب قبلی در مورد واسطه حسابی و هندسی صحبت کردیم اما در این مطلب می خواهم بطور مفصل تری توضیح دهم . سوالات و درخواستهای متعددی از کاربران سایت برای ما ارسال شده و از ما خواستن که این مطلب را ساده تر توضیح دهیم ، لذا با توجه به اهمیت این موضوع و همچنین با توجه به اینکه معمولا چه در کنکور سراسری و چه در آزمون مدارس همیشه از این بخش سوال مطرح می شود لذا مفصلا این مبحث را جداگانه توضیح خواهم داد.
1-واسطه حسابی
من ابتدا در مورد واسطه حسابی توضیح میدهم و در گام بعدی وارد مرحله درج واسطهای حسابی بین دو عدد می شویم .
در ابتدا یک دنباله حسابی را در نظر می گیریم :[math]5,8,11,14,17,…[/math] همانطور که می بینید
مثلا عدد 8 میانگین دو عدد 5 و 11 است :
[math]\frac{{5 + 11}}{2} = \frac{{16}}{2} = 8[/math]
همچنین عدد 11 میانگین دو عدد 8 و 14 در دنباله حسابی فوق است :
[math]\frac{{8 + 14}}{2} = \frac{{22}}{2} = 11[/math]
و همچنین عدد 14 میانگین دو عدد 11 و 17 در دنباله حسابی فوق است :
[math]\frac{{11 + 17}}{2} = \frac{{28}}{2} = 14[/math]
از مثال دنباله حسابی بالا می توانیم این را بفهمیم که :
اگر [math]a,b,c[/math] سه جمله متوالی از یک دنباله حسابی باشند ،[math]b[/math] را واسط حسابی بین [math]a,c[/math] می نامند و رابطه بین آنها به صورت زیر است :
[math]b = \frac{{a + c}}{2} [/math]
مثلا در مثال بالا دیدیم که [math]5,8,11[/math] سه جمله متوالی دنباله حسابی بودند و دیدیم که 8 واسطه و میانگین این دو جمله یعنی 5 و 11 بود . همچنین اگر [math] 8,11,14[/math] را در به عنوان سه جمله متوالی درنظر می گرفتیم دیدیم که 11 واسطه و میانگین دو جمله 8 و 14 بود.
مثال 1: اگر [math]5,x,11[/math] سه جمله متوالی یک دنباله حسابی باشند مقدار [math]x[/math] را بیابید.
مشخص است که x یک واسطه حسابی است پس :
[math]b = \frac{{a + c}}{2} \Rightarrow x = \frac{{5 + 11}}{2} = 8[/math]
تست:اگر [math]2p+3,3p+4,5p-1[/math] سه جمله متوالی یک دنباله حسابی باشند ،قدر نسبت این دنباله کدام است ؟( کنکور سراسری-ریاضی -84)
1)4 2)5 3)6 4)7
پاسخ :
[math]
b = \frac{{a + c}}{2} \Rightarrow 3p + 4 = \frac{{5p – 1 + 2p + 3}}{2} = \frac{{7p + 2}}{2}\\\\3p + 4 = \frac{{7p + 2}}{2} \Rightarrow 2(3p + 4) = 7p + 2 \Rightarrow 6p + 8 = 7p + 2 \Rightarrow 6p – 7p = 2 – 8\\p = 6[/math]
اکنون که مقدار p بدست آوردیم در مقادیر بالا قرار می دهیم تا مقدار عددی هر جمله را بدست آوریم .
[math]5p – 1 \to 29\\3p + 4 \to 22\\2p + 3 \to 15[/math]
کافیست دو جمله از جملات بالا را از هم تفریق کنیم تا قدر نسبت حساب شود .
[math]d=29-22=7[/math]
پس جواب گزینه 4 است .
اکنون بعد از این مقدمه می رسیم به اصل موضوع درج تعدادی واسطه حسابی بین دو عدد
درج تعدادی واسطه حسابی بین دو عدد
مطلب را با یک مثال آغاز می کنیم . بین اعداد 7 و 23 به تعداد 3 واسطه حسابی درج کنید ؟
در واقع اینجا ما میخواهیم دنباله ای داشته باشیم که جمله اولش 7 و با احتساب اینکه بعد از جمله اول 3 جمله باید قرار دهیم پس جمله پنجم ما نیز 23 خواهد بود . حالا ما دنباله ای داریم که جمله اولش 7 و جمله پنجمش 23 است .
منظور اینکه بصورت زیر باشد :
من برای بدست آوردن این سه عدد دو روش داریم
روش اول :من فرض می کنم که یک دنباله حسابی دارم مانند شکل فوق که 5 جمله دارد و جمله اول و جمله پنجم این دنباله معلوم است پس با استفاده از این دو جمله می توانم قدر نسبت دنباله حسابی را بدست آورم
[math]{a_n} = {a_1} + (n – 1)d \to \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = 7\\{a_5} = 23\end{array} \right\} \to {a_5} = {a_1} + 4d \Rightarrow 23 = 4 + 4d \Rightarrow d = 4[/math]
حالا که قدر نسبت بدست آوردیم و جمله اول هم معلوم است براحتی جملات دوم و سوم و چهارم نیر مشخص می شوند .
[math]{a_n} = {a_1} + (n – 1)d \to \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = 7\\d = 4\end{array} \right\} \to \left\{ \begin{array}{l}{a_2} = {a_1} + d = 7 + 4 = 11\\{a_3} = {a_1} + 2d = 7 + 8 = 15\\{a_4} = {a_1} + 3d = 7 + 12 = 19\end{array} \right\}[/math]
این روش خیلی ساده بود و دیدیم که به راحتی جواب بدست آمد اما روش دوم :
روش دوم :باز اینجا سعی می کنیم با مثال مساله را توضیح دهیم همان مثال بالا را در نظر می گیریم .
ما دو جمله داشتیم و از ما خواسته شده که سه جمله دیگر برای دنباله حسابی بدست اوریم پس جمعا پنج جمله داریم .جمله اول معلوم است و برابر 7 و جمله پنج نیز معلوم است و برابر 23 است . باید قدر نسبت را حساب کنیم و بعد از آن بقیه جملات را هم بدست می آوریم .در این روش ما می توانیم با استفاده از قاعده اندیس های دنباله حسابی قدر نسبت را حساب کنیم .
قاعده اندیس ها : اگر [math] {a_m},{a_n} [/math] دو جمله دلخواه از یک دنباله حسابی باشند ،قدر نسبت دنباله از رابطه زیر بدست می آید :
[math] d = \frac{{{a_m} – {a_n}}}{{m – n}} [/math]
پس با استفاده از این قاعده اندیسها ، قدر نسبت دنباله را حساب می کنیم .
[math] d = \frac{{{a_5} – {a_1}}}{{5 – 1}} = \frac{{23 – 7}}{4} = \frac{{16}}{4} = 4[/math]
خوب حالا که قدر نسبت معلوم شد و جمله اول هم معلومه براحتی جملات دوم و سوم و چهارم دنباله مشابه روش اول حساب می شوند.
مثال 2 :بین دو عدد [math]-5,93[/math] به تعداد سیزده واسطه حسابی درج کرده ایم. سومین واسطه کدام است ؟
با توجه به توضیحاتی که دادیم براحتی قدر نسبت این دنباله حسابی بدست می آید .
[math]d = \frac{{{a_{15}} – {a_1}}}{{15 – 1}} = \frac{{93 – ( – 5)}}{{14}} = \frac{{98}}{{14}} = 7\\{a_n} = {a_1} + (n – 1)d \Rightarrow {a_4} = – 5 + 3 \times 7 = – 5 + 21 = 16[/math]
سومین واسطه در واقه می شود چهارمین جمله دنباله حسابی ، پس از فرمول بالا براحتی حساب می شود.
واسطه هندسی :
اکنون نوبت دنباله هندسی است که واسطه های هندسی را در آن بررسی کنیم .باز با یک مثال کار را شروع می کنیم .
دنباله هندسی [math]1,2,4,8,16,32,64,…[/math] را در نظر می گیریم .
سه جمله متوالی [math]1,2,4[/math] را ببینید . براحتی می توان فهمید که رابطه زیر بین این سه جمله متوالی برقرار است .
[math] {2^2} = 1 \times 4[/math]
دوباره سه جمله متوالی [math]2,4,8[/math] را ببینید . براحتی می توان فهمید که رابطه زیر بین این سه جمله متوالی برقرار است .
[math] {4^2} = 2 \times 8[/math]
دوباره سه جمله متوالی [math] 4,8,16[/math] را ببینید . براحتی می توان فهمید که رابطه زیر بین این سه جمله متوالی برقرار است .
[math] {8^2} = 4 \times 16[/math]
از مطالب فوق نتیجه زیر بدست می آید .
اگر [math]a,b,c[/math] سه جمله متوالی یک دنباله هندسی باشند ،b را واسطه هندسی بین a,c می نامند و رابطه بین انها به صورت :
[math] {b^2} = a \times c[/math]
مثال 3:اگر جملات [math] \sqrt 2 – 1,m,\sqrt 2 + 1 [/math] تشکیل یک دنباله هندسی بدهند،مقدار m را بدست اورید .
چون گفته دنباله هندسی است ، پس با استفاده از واسطه هندسی مساله را حل می کنیم .
[math]{b^2} = a.c \Rightarrow {m^2} = \left( {\sqrt 2 – 1} \right) \times \left( {\sqrt 2 + 1} \right) = 2 – 1 = 1 \Rightarrow m = \pm 1[/math]
درج تعدادی واسطه هندسی بین دو عدد
باز اینجا با یک مثال بحث را شروع می کنیم .
مثال 4: بین دو عدد 128 و 2 پنج واسطه هندسی درج کنید .
اولین کاری که باید انجام دهیم معلوم کردن قدر نسبت مساله است .باز اینجا مشابه روش دنباله حسابی از دو روش استفاده می کنیم
روش اول : ما نمی خواهیم از هیچونه فرمول خاص استفاده کنیم . پس طبق شکل بالا ما یه دنباله هندسی داریم که جمله اولش معلوم و جمله هفتم نیز معلوم است . پس خیلی راحت می توان قدر نسبت این دنباله را بدست آورد.
[math]{a_n} = {a_1}{q^{n – 1}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_7} = {a_1}{q^6}\\{a_1} = 2\\{a_7} = 128\end{array} \right\} \to 128 = 2{q^6} \Rightarrow {q^6} = \frac{{128}}{2} = 64\\q = \pm 2[/math]
همانطور که می بینید قدر نسبت ما اینجا دارای دو مقدار شد . هر دو مقدار اینجا قابل قبول است چون:
در روش دوم کافیست قدر نسبت را با استفاده از قاعده زیر حساب کنیم :
[math]\frac{{{a_m}}}{{{a_n}}} = {q^{m – n}}[/math]
تست :بین دو عدد 324 و 4 سه عدد چنان درج کنید که پنج عدد حاصل تشکیل یک دنباله هندسی بدهید ،مجموع این پنج عدد مثبت کدام است ؟ (کنکور-ریاضی خارج از کشور-91)
1)482 2)484 3)486 4)488
پاسخ:
واضح است که اینجا ما باید 3 واسط هندسی درج کنیم .ابتدا باید قدر نسبت دنباله هندسی را حساب کنیم .
[math]\frac{{{a_5}}}{{{a_1}}} = \frac{{a{}_1{q^4}}}{{{a_1}}} = {q^4} \Rightarrow \frac{{324}}{4} = {q^4} = 81 \Rightarrow q = \pm 3[/math]
چون جملات مثبت فرض شده اند پس [math]q=-3[/math] قابل قبول نیست و فقط مقدار مثبتش قابل قبول هست .
[math]{S_5} = \frac{{{a_1}(1 – {q^5})}}{{1 – q}} = \frac{{a(1 – {3^5})}}{{1 – 3}} = \frac{{4(1 – 243)}}{{ – 2}} = 484[/math]
نتیجه بحث : من در این مطلب سعی کردم با دوری کردن از فرمول بازیهای رایج مفهوم درج واسطه های حسابی و هندسی را توضیح دهم . درج واسطه ها چیزی نیست جز تشکیل یک دنباله جدید را جملاتی جدید است . اگر چه در همه منابع فرمولهایی برای درج واسطه هاس حسابی و هندسی ذکر شده ، اما من اینجا این فرمولها را برای اینکه باعث سردرگمی و پچیدگی نشود ، خودداری کردم . کافیست شما مفهوم درج واسطه حسابی و هندسی را بفهمید آنگاه خواهید دید که این مبحث چقدر ساده و روان است.
خییییلیییی مممنون واقعا معلم ما خیلی ساده این مطالب رو برای ما نگفت خیییلی ممنون اقا
ممنونم
ولی هر معلمی از فرمول درست خودش حل میکنه.