تعیین علامت معادله درجه دوم به کمک ضرایب
تعیین علامت معادله درجه دوم به کمک ضرایب
جهت تعیین علامت ریشه های معادله درجه دوم [math] a{x^2} + bx + c = 0[/math] با استفاده از ضرایب ثابت معادله یعنی [math]a,b,c[/math] ابتدا نسبت دلتا را حساب می کنیم و یا می توانیم ابتدا [math] \frac{c}{a} [/math] را حساب می کنیم سپس بر اساس نمودار زیر سه حالت مختلف خواهیم داشت :
الف )جمع ریشه ها
[math]{x_1} + {x_2} = \frac{{ – b + \sqrt \Delta }}{{2a}} + \frac{{ – b – \sqrt \Delta }}{{2a}} \Rightarrow {x_1} + {x_2} = \frac{{ – 2b}}{{2a}} = – \frac{b}{a}\\[/math]
ب)ضرب ریشه ها
[math]{x_1}.{x_2} = \frac{{ – b + \sqrt \Delta }}{{2a}} \times \frac{{ – b – \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{{b^2} – \Delta }}{{4{a^2}}} = \frac{{{b^2} – ({b^2} – 4ac)}}{{4{a^2}}} = \frac{{4ac}}{{4{a^2}}} = \frac{c}{a}\\[/math]
مثال 1: در معادلات زیر ریشه های معادلات را بدست آورید .
[math] 1)2{x^2} – 5x + 1 = 0[/math]
ابتدا دلتای معادله فوق را حساب می کنیم تا ببینیم وضعیت ریشه ها چگونه است .
[math]\Delta = {b^2} – 4ac = {( – 5)^2} – 4(2)(1) = 25 – 8 = 17 > 0[/math]
با توجه به محاسبه دلتا ،معادله فوق باید دو ریشه داشته باشد . اما حالا می خواهیم بر اساس محاسبه [math] \frac{c}{a} [/math] معادله را بررسی کنیم .
[math] \frac{c}{a} = \frac{1}{2} > 0[/math]
خوب دیدیم که [math] \frac{c}{a} [/math] بزرگتر از صفر است پس طبق نمودار بالا معادله دارای دو ریشه هم علامت است .
مرحله بعدی محاسبه [math] -\frac{b}{a} [/math] است که بر اساس علامت ان :
[math]- \frac{b}{a} = – \frac{{ – 5}}{2} = \frac{5}{2} > 0[/math]
چون [math] -\frac{b}{a} [/math] بزرگتر از صفر شد پس طبق نمودار بالا معادله دارای دو ریشه مثبت است.
اکنون برای اطمینان با روش دلتا ریشه های معادله را حساب می کنیم .
[math]\Delta = 17\\{x_1} = \frac{{ – b – \sqrt {17} }}{{2a}} = \frac{{5 – \sqrt {17} }}{4}\\{x_2} = \frac{{ – b – \sqrt {17} }}{{2a}} = \frac{{5 + \sqrt {17} }}{4}[/math]
هر دو ریشه فوق مثبت هستند .
[math] 2)3{x^2} – 7x – 2 = 0[/math]
اینجا باز من دلتا را حساب می کنم تا ببینم در چه وضعیتی هست
[math] \Delta = {b^2} – 4ac = {( – 7)^2} – 4(3)( – 2) = 49 + 24 = 73 > 0[/math]
چون دلتا بزرگتر از صفر است معادله دارای دو ریشه حقیقی است ، اما نمی دانیم علامتهاشون چگونه است پس باید [math] \frac{c}{a} [/math] را حساب کنیم .
[math] \frac{c}{a} = \frac{{ – 2}}{3} < 0[/math]
خوب دیدیم که [math] \frac{c}{a} [/math] کوچکتر از صفر است پس طبق نمودار بالا معادله دارای دو ریشه مختلف العلامه است .
مرحله بعدی محاسبه [math] -\frac{b}{a} [/math] است که بر اساس علامت ان :
[math] – \frac{b}{a} = – \frac{{ – 7}}{3} = \frac{7}{3} > 0[/math]
چون [math] -\frac{b}{a} [/math] بزرگتر از صفر شد پس طبق نمودار بالا قدر مطلق ریشه مثبت از قدر مطلق ریشه منفی بزرگتر است .باز برای اطمینان از صحت استدلال به روش کلی ریشه های معادله را حساب می کنیم .
[math]\Delta = 73 > 0\\{x_1} = \frac{{ – b – \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{7 – \sqrt {73} }}{6} < 0\\{x_2} = \frac{{ – b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{7 + \sqrt {73} }}{6} > 0[/math]
3-مقدار [math]m[/math] برای آنکه معادله [math] m{x^2} + ({m^2} – 4)x + m – 3 = 0 [/math] دو ریشه قرینه داشته باشد ، را حساب کنید .
پاسخ:
دو روش برای حل داریم روش اول فرض می کنیم که [math] {x_1},{x_2} [/math] ریشه های معادله باشند که قرینه یکدیگر هستند .
[math] {x_1} = – {x_2} \Rightarrow {x_1} + {x_2} = 0 \Rightarrow – \frac{b}{a} = 0 \Rightarrow b = 0[/math]
روش دیگر استفاده از نمودار فوق است اگر دقت کنید در نمودار فوق زمانی که [math] \frac{c}{a} < 0, – \frac{b}{a} = 0 [/math] معادله دارای دو ریشه قرینه است .
پس در هر دو حالت داریم که b=0 از طرفی دیگر چون گفته دو ریشه داریم پس دلتا باید بزرگتر از صفر باشد و همچنین طبق نمودار بالا [math] \frac{c}{a} < 0 [/math]
[math]\left\{ \begin{array}{l}b = 0\\\frac{c}{a} < 0\end{array} \right\}b = {m^2} – 4 = 0 \Rightarrow m = \pm 2\\[/math]
قابل قبول | [math] m = 2 \Rightarrow a = 2,c = – 1 \Rightarrow \frac{c}{a} = \frac{{ – 1}}{2} < 0[/math] | [math] a = m,c = m – 3 [/math] |
غیر قابل قبول | [math] m = – 2 \Rightarrow a = – 2,c = – 5 \Rightarrow \frac{c}{a} = \frac{{ – 5}}{{ – 2}} > 0 [/math] |
4-حدود m برای آنکه معادله [math] (m – 1){x^2} + mx + m – 3 = 0 [/math] دارای دو ریشه مختلف العلامه باشند را بدست آورید.
پاسخ:
طبق نمودار فوق برای اینکه مختلف العلامه باشند باید [math] \frac{c}{a} < 0 [/math] پس داریم :
[math]\frac{c}{a} < 0 \Rightarrow \frac{{m – 3}}{{m – 1}} < 0[/math]
نامعادله فوق را باید تعیین علامت کنیم .