لگاریتم طبیعی و تابع نمایی عدد نپر

در این پست می خواهم راجع به لگاریتم طبیعی یعنی همان لگاریتم معمولی اما در پایه عدد نپر e صحبت کنیم . در ابتدا مروری داریم بر مفهوم این تابع و کاربردهای آن .

ما می دانیم که لگاریتم را بصورت زیر می نویسند :

[math]\log _{a}^{x}=y[/math]

که در اینجا لگاریتم x در مبنای a می باشد و فهمیدیم که رابطه لگاریتم و تابع نمایی بصورت زیر است :

[math]\log _{a}^{x}=y\Leftrightarrow a^{y}=x[/math]

اکنون اگر مبنای لگاریتم را عدد e  در نظر بگیریم ، با حالتی خاص از لگاریتم مواجه می شویم که به آن لگاریتم طبیعی  Ln  می گویند.

[math]\log _{e}^{x}=\ln x[/math]

همانطور که دیدید تنها تفاوتی که تاکنون بصورت ظاهری دیدیم اینکه لگاریتم طبیعی همان لگاریتم معمولی است با این تفاوت که در مبنای عدد نپر e  محاسبه می شود و تمام خصوصیات و رفتارهای لگاریتم معمولی را دارد .

[math]\ln 1=0[/math]

[math]\ln e=1[/math]

[math]\ln e^x=x[/math]

[math]\ln y^x=x\ln y[/math]

[math]\ln (xy)=\ln x+\ln y[/math]

[math]\ln (\frac{x}{y})=\ln x-\ln y[/math]

[math]\log _{a}^{x}=\frac{\ln x}{\ln a}[/math]

[math]a^x=e^{x{ln a}}[/math]

کاربردهای تابع لگاریتم طبیعی و ارتباط آن با تابع نمایی

یکی از مهمترین کاربردهای تابع لگاریتم طبیعی ، استفاده از این تابع برای محاسبه مشتق برخی توابع پیچیده می باشد که در همین سایت در پست زیر توضیح داده شده است :

مشتق گیری لگاریتمی 

اما کاربرد دیگر آن ، ترکیب آن با تابع نمایی [math]e^x[/math] هست که باعث ساده تر شدن محاسبات ما بخصوص در انتگرال گیری می شود .

حالت 1: هر گاه با رابطه ای بصورت زیر مواجه شدیم :

[math]e^{f(x)}=k\rightarrow \ln e^{f(x)} =f(x)[/math]

همانطور که می بینید یعنی اگر تابع نمایی [math]e^{f(x)}[/math] باشد کافیست برای بدست آوردن خود تابع

[math]f(x)[/math] از هر دو طرف معادله تابع لگاریتم طبیعی بگیریم و طبق فرمول بالا می بینیم که  [math]f(x)[/math]  ساده می شود و می توان براحتی آن را محاسبه کرد .

مثال : معادله [math]e^{x}=2[/math]  را بصورت زیر حل می کنیم .

[math]e^{x}=2\Rightarrow \ln e^{x}=\ln 2 \Rightarrow x=\ln 2\Rightarrow x=0.693147[/math]

 

 

حالت 2: هر گاه با رابطه ای بصورت زیر مواجه شدیم :

[math]\ln f(x)=k\Rightarrow e^{\ln f(x)}=f(x)=e^{k}[/math]

همانطور که می بینید یعنی اگر تابع نمایی [math]\ln f(x)=k[/math] باشد کافیست برای بدست آوردن خود تابع

[math]f(x)[/math] از هر دو طرف معادله تابع لگاریتم طبیعی را تبدیل کنیم به تابع نمایی و طبق فرمول بالا می بینیم که  [math]f(x)[/math]  ساده می شود و می توان براحتی آن را محاسبه کرد .این حالت در واقع عکس حالت اول می باشد .

مثال :معادله [math]\ln x=2.2[/math] را حل کنید .

[math]\ln x=2.2\Rightarrow e^{\ln x}=e^{2.2}\Rightarrow x=e^{2.2}=9[/math]

پستهای مرتبط به موضوع :

عدد نپر و تابع نمایی

مفهوم لگاریتم 

مشتق لگاریتم طبیعی