عدد e عدد نپر یا اویلر

عدد   e  به عدد نپر معروف است که مقدار تقریبی آن برابر است با :

e=2.718218284…………

و از رابطه زیر بدست می آید :

[math]e=\lim (1+\frac{1}{n})^{n}[/math]

[math]n\rightarrow \infty[/math]

همچنین اگر x عدد حقیقی دلخواهی باشد داریم که تابع نمایی عدد نپر بصورت زیر است :

[math]e^x=\lim (1+\frac{x}{n})^{n}[/math]

[math]n\rightarrow \infty[/math]

که ما در اینجا [math]f(x)=e^x[/math]  را  یک تابع نمایی می نامیم .

البته این حالت خاصی از یک تابع نمایی است چرا که تابع نمایی در حالت کالی بصورت [math]f(x)=a^x[/math]  می باشد که a  یک عدد حقیقی مثبت و مخالف یک است .اما چون ما در اینجا قرار است فقط در مورد عدد e  بحث کنیم . لذا ما [math]e , e^x[/math]  را در نظر می گیریم که به e عدد نپر یا اویلر و به [math]f(x)=e^x[/math] تابع نمایی می گوییم .

بررسی [math]e , e^x[/math]

می خواهیم [math]e , e^x[/math]  را تجزیه و تحلیل کنیم و ببینیم که چه خصوصیاتی دارند ؟

برای این کار مشتقات اول و دوم و سوم و ……… n  ام تابع [math] e^x[/math]  را بدست می آوریم و آنها را در نقطه صفر محاسبه می کنیم .

 [math]{f}'(x)=e^x\rightarrow {f}'(0)=e^0=1[/math]

[math]{f}”(x)=e^x\rightarrow {f}”(0)=e^0=1[/math]

.

.

 [math]f^{(n)}(x)=e^x\rightarrow f^{(n)}(0)=e^0=1[/math]

iهمانطور که می بینید هر مامشتق بگیریم باز   [math] e^x[/math]  بدست می آید  .یعنی مشتق این تابع در هر درجه ای تغییر نمی کند ، این خودش یک نقطه قوت کاربردی فراوانی برای ما در ریاضیات فراهم می ند که بعدها و در پست ها آینده بطور مفصل در مورد انها بحث می کنیم .پس می توان گفت که از  [math] e^x[/math] می توان بی نهایت بار مشتق گرفت و نتیجه همان می شود .خوب یعنی چی ؟ و این چه فایده ای برای ما دارد ؟

جواب : می دانیم که به وسیلهٔ بسط تیلور (به انگلیسی: Taylor series)، می‌توان توابع بی‌نهایت بار مشتق‌پذیر را به صورت توابع توانی نوشت، و یا به عبارتی، بسط داد.پس طبق بسط تیلور در ریاضیات

 نمایش یک تابع ، به صورت مجموع بی‌نهایت جمله است که از مشتق‌های تابع در یک نقطه به دست می‌آید.بصورت زیر: 

 [math]f(x)=f(x_{0})+\frac{{f}'(x_{0})(x-x_{0})}{1!}+\frac{{f}”(x_{0})(x-x_{0})^2}{2!}+….\frac{{f}^{(n)}(x_{0})(x-x_{0})^{(n)}}{n!}[/math]

حال اگر نقطه مورد نظر ما [math] x_{0}=0[/math] باشد آنگاه طبق سری تیلور (فرمول بالا) تابع نمایی [math] e^x[/math]  و در نقطه صفر بصورت زیر خواهد بود .

[math]e^x=1+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+…..[/math]

و در نهایت اگر ما بخواهیم   [math] e[/math] را بدست آوریم کافیست که x=1 در نظر می گیریم آنگاه مقدار e  بصورت زیر محاسبه خواهد شد.

[math]e=1+\frac{1^{2}}{2!}+\frac{1^{3}}{3!}+…..[/math]

[math]e=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+…..[/math]=2 .71828…..

آنچه کا ما اینجا فهمیدیم اینکه تابع عدد نپر e  به دلیل داشتن بی نهایت مشتق می توان آن را با استفاده از بسط تیلور به یک بسط تبدیل کرد. این عدد به دلیل خاصیت های جالب و ارتباط قوی که با لگاریتم طبیعی دارد در حساب دیفرانسیل و انتگرال کاربردهای فراوانی دارد . ما در بخش بعدی به لگاریتم طبیعی می پردازیم و سپس به ارتباط این دو یعنی عدد e  و لگاریتم طبیعی در تسهیل حل معادلات ریاضی بخصوص انتگرال و معادلات دیفرانسیل می پردازیم .

پستهای مرتبط به موضوع :

لگاریتم طبیعی و تابع نمایی و عدد نپر

مفهوم لگاریتم  

مشتق لگاریتم طبیعی 

مشتق گیری به کمک لگاریتم طبیعی و مشتق گیری لگاریتمی