مثلثات -بخش نخست -مقدمه
مثلثات چیست :شاخه ای از ریاضیات است که به بررسی روابط بین زوایا و اضلاع مثلث می پردازد .
تعریف ضلع مشخص است ، اما زاویه چی ؟تعریف زاویه در هندسه چه تفاوتی با تعریف زاویه در مثلثات دارد؟
زاویه در هندسه :در صفحه مختصات ،یک زاویه به وسیله دو نیم خط که راس مشترک دارند ایجاد می شود به شرط آنکه این دو نیم خط روی یک خط نباشند
نکته مهم اینجاست که ما در هندسه نیازی به زاویه با اندازه بیش از 180 درجه نداریم ، اما در مثلثات چنین نیست زیرا زاویه های با اندازه های بیش از 360 درجه هم لازم است ، به همین دلیل زاویه مثلثاتی با زاویه هندسی متفاوت است.
در واقع یکی از اهداف مثلثات اندازه گیری فاصله های به صورت غیر مستقیم است ، به تعبیری دیگر ما به کمک مثلثات بسیاری از پدیده های اطرافمان را می توانیم ابتدا به زبان ریاضی شبیه سازی کنیم و سپس به کمک مثلثات حل کنیم.
به عنوان مثال فرض کنید یک هواپیما در ارتفاع 2 کیلومتری در حال فرود آمدن است
اگر زاویه هواپیما با افق 13 درجه باشد ، میخواهیم محل دقیق فرود آمدن هواپیما را بدانیم، این مسئله و هزاران مسئله شبیه به آن با استفاده از روابط مثلثاتی حل می شوند.
سوال :چطور می توان این مسائل را به زبان ریاضی بیان کرد و سپس آن را حل کرد ؟
اینجا اهمیت تشابه معلوم می شود.یعنی چی ؟ یعنی در واقع ما یک شکل بزرگ را باید با شکلی کوچک و ریاضی تشبیه کنیم تا بتوانیم این مسئله را به زبان ریاضی حل کنیم ، خوب این شبیه سازی یا همان تشاب چگونه است ؟چه قوانینی دارد؟ ما در اینجا و در ابتدای بحث مثلثات باید مفهوم تشابه را یادآوری کنیم.نخست تشابه دو چند ضلعی را بررس می کنیم
دو چند ضلعی در صورتی متشابه هستند که :
1-تعداد اضلاع آنها مساوی باشند.
2-ضلع های متناظر آنها با هم متناسب باشند (یعنی به یک نسبت کوچک یا بزرگتر شده یا بدون تغییر باشد )
3-زاویه های متناظر آنها حتما مساوی باشند .
این حالت کلی در مورد تمام چند ضلعیها برقرار است ، اما ما اینجا می خواهیم حالت خاصی از تشابه را بررسی کنیم ، تشابه دو مثلث و در حالتی خاص تر تشابه دو مثلث قائم الزاویه ، خوب اول ببینیم دو مثلث در چه حالتهایی با هم متشابه هستند .
حالتهای تشابه دو مثلث :
1-سه ضلع از مثلثی با سه ضلع از مثلث دیگر برابر یا متناسب باشند.
2-دو زاویه از مثلثی با دو زاویه از مثلث دیگر متساوی باشند
3-دو ضلع از مثلثی با دو ضلع از مثلث دیگر متناسب و زاویه بین آنها متساوی باشند.
حالت اول تشابه که ذکر کردیم برای دو مثلث بالا بصورت زیر است :
[math] \frac{{AB}}{{A’B’}} = \frac{{BC}}{{B’C’}} = \frac{{AC}}{{A’C’}}[/math]
حالت دوم تشابه ( دو زاویه متساوی)
[math] \hat A = \hat A’,\hat B = \hat B'[/math]
حالت سوم تشابه
[math] \frac{{AB}}{{A’B’}} = \frac{{BC}}{{B’C’}},\hat B = \hat B'[/math]
این حالتهای تشابه در مورد هر مثلثی صادق است ، اما ما میخواهیم حالتی خاص را نیز بررسی کنیم ، یعنی مثلث قائم الزاویه .
حالتهای تشابه دو مثلث قائم الزاویه:
دو مثلث قائم الزاویه بالا را در نظر بگیرید می دانیم که هر دو مثلث دارای زاویه 90 درجه است.پس یک زاویه از مثلث ABC با یک زاویه از مثلث A’B’C’ برابر است .
بنابر حالت دوم تشابه که در بالا گفتیم در دو مثلث قائم الزاویه اگر یک زاویه حاده از مثلث قائم الزاویه با یک زاویه حاده از مثلث قائم الزاویه دیگر برابر باشد آن دو مثلث قائم الزاویه متشابه اند.
می دانیم که هر مثلث سه ضلع و سه زوایه دارد ، و مجموع زوایای هر مثلث برابر با ۱۸۰ درجه است .بنابراین اگر دو زاویه از مثلثی معلوم باشد آنگاه می توان زاویه سوم را حساب کنیم . زاویه های مثلث را دو جز و اضلاع مثلث را سه جز دیگر به حساب می آوریم و هر گاه سه جز این پنج جزء را بدانیم می توانیم مثلث را رسم کنیم ، در مثلث قائم الزاویه ما اگر یک زاویه را بدانیم با توجه به اینکه زاویه دیگر 90 درجه است پس زاویه سوم هم معلوم می شود .همچنین اگر فقط اندازه یک ضلع از سه ضلع مثلث قائم الزاویه معلوم باشد می توانیم اندازه ضلع ها دیگر را محاسبه کنیم این روند بوسیله نسبتهای مثلثاتی امکان پذیر است.
اولین مطلبی که می خواهیم یاد بگیریم اینه که در یک مثلث قائم الزاویه اگر اندازه یک زاویه حاده را ثابت بگیریم اما،ضلع مجاور و ضلع مقابل آن را تغییر دهیم ، نسبت این تغییرات همواره ثابت است . یه مثال میزینم تا بهتر متوجه موضوع شوید .
مثال : مثلث قائم الزاویه زیر را در نظر بگیرید نشان دهید که [math] \frac{{BC}}{{AB}} = \frac{{EF}}{{AE}}[/math]
اینجا دو مثلث قائم الزاویه داریم یکی AEF که به رنگ قرمز مشخص کرده ایم و دیگری مثلث ABC است ، حالا چون زاویه حاده (تند) در هر دو مثلث مشترک است پس این دو مثلث قائم الزاویه متشابه هستند و نسبت تناسب بین اضلاع آنها برقرار است :
[math] \frac{{AC}}{{AF}} = \frac{{AB}}{{AE}} \Rightarrow \frac{{BC}}{{AB}} = \frac{{EF}}{{AE}}[/math]
BC در مثلث ABC یعنی ضلع روبروی زاویه حاده A
AB در مثلث ABC یعنی ضلع مجاور زاویه حاده A
EF در مثلث AEF یعنی ضلع روبروی زاویه حاده A
AB در مثلثAEF یعنی ضلع مجاور زاویه حاده A
و دیدیم که این نسبت در هر دو مثلث نتیجه یکسانی داشت و برابر بود .
مثال :فرض کنید یک ساختمان ، سایه ای 6 متری دارد و در همان زمان درختی با طول 2 متر سایه ای به طول 3 متر دارد ، ارتفاع ساختمان چقدر است ؟
چون هم زمان است ، یعنی هر دو شکل را داریم در یک لحظه مقایسه می کنیم ، پس زاویه تابش خورشید [math] \alpha [/math] در هر دو شکل ثابت است .و هر دو با سایه و زاویه خورشید مانند شکل بالا یک مثلث قائم الزاویه تشکیل می دهند .که متشابه هستند چون زاویه حاده [math] \alpha [/math]در هر دو یکسان است پس اگر بخواهیم بصورت مثلث قائم الزاویه تشبیه کنیم داریم :
چون متشابه هستند پس نسبت تشابه برقرار است :
[math] \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{A’B’}}{{A’C’}} \Rightarrow \frac{2}{3} = \frac{{A’B’}}{6} \Rightarrow A’B’ = 4[/math]
طول ساختمان 4 متر است .
نتیجه گیری بحث : پس از این همه توضیح مفصلی که گفتیم به یک نسبتی رسیدیم که در مثلث قائم الزاویه بسیار راهگشا و مفید است و ان نسبت عبارت است از
این نسبت همان تانژانت زاویه است . پس اولین نسبت مثلثاتی که اینجا فرا گرفتیم این است که
tan (تانژانت ) :نسبت ضلع مقابل زاویه حاده به ضلع مجاور زاویه را گویند.
cot (کتانژانت )نسبت ضلع مجاور زاویه حاده به ضلع مقابل زاویه حاده را گویند.
sin ( سینوس) : نسبت ضلع مقابل زاویه حاده به وتر مثلث قائم الزاویه را سینوس می گویند.
cos (کسینوس ) : نسبت ضلع مجاور زاویه حاده به وتر مثلث قائم الزاویه را گویند.