تعیین اکسترمم های مطلق در باز [a,b]

تعیین اکسترمم های مطلق در باز [a,b]

در بخشهای قبلی در مورد مفهوم اکسترمم نسبی و اکسترمم مطلق صحبت کردیم .در این مطلب می خواهیم نحوه عملی بدست آوردن اکسترمم های مطلق صحبت کنیم.

برای بدست آوردن اکسترمم مطلق در یک باز بسته [math][a,b][/math] به ترتیب زیر عمل می کنیم:

1-ابتدا مقادیر [math]f(a),f(b)[/math] را حساب می کنیم.

2-از تابع مشتق می گیریم و طول نقاط بحرانی آن را مشخص می کنیم.

3-مقدار تابع را در نقاط بحرانی بدست می اوریم .

4-نقاط بدست آمده را با هم مقایسه می کنیم ،نقطه ای که دارای بیشترین [math]y[/math] باشد را ماکسیمم مطلق و نقطه ای که دارای کمترین [math]y[/math] مینیمم مطلق می نامیم.

جدولی به شکل زیر تشکیل می دهیم و در بین مقادیر بدست آمده برای تابع f بزرگترین آنها ماکسیمم مطلق و کوچکترین آنها مینیمم مطلق است. 

مثال 1: اکسترمم های مطلق تابع [math] f(x) = 9 – {x^2} [/math] را روی بازه [math][-3,3][/math] بررسی کنید.

ابتدا روی مقادیر تابع در انتها و ابتدای بازه را حساب می کنیم:

[math] f(x) = 9 – {x^2}\\f( – 3) = 9 – {( – 3)^2} = 0\\f(3) = 9 – {(3)^2} = 0 [/math]

اکنون نقاط بحرانی تابع را حساب می کنیم:

[math] f(x) = 9 – {x^2} \to f'(x) =  – 2x \to \\f'(x) = 0 \to x = 0 [/math]

اکنون به ازای [math]x=3,-3[/math] و به ازای نقطه بحرانی [math]x=0[/math] مقادیر [math]y[/math] تابع را حساب می کنیم :

[math] f(x) = 9 – {x^2}\\x =  – 3 \to f( – 3) = 0\\x = 3 \to f( – 3) = 0\\x = 0 \to f(0) = 9 [/math]

از سه مقدار بدست امده بالا مشخص است که [math]y=0[/math]کمترین مقدار تابع است پس مینیم مطلق است و [math]y=9[/math] بیشترین مقدار تابع است پس ماکزیمم مطلق تابع است.

	نقطه بحرانی
[math]3[/math]	[math]0[/math]	[math]-3[/math]	[math]x[/math]
[math]0[/math]	[math]9[/math]	[math]0[/math]	[math]y=f(x)[/math]

 

مثال 2:مقدار مینیمم مطلق تابع [math] f(x) =  – 5{x^3} + x|x – 1| [/math]  روی بازه [math][0,2][/math] چقدر است ؟

همانطور که می بینیم تابع دارای قدر مطلق است پس ابتدا باید بدانیم علامت این قدر مطلق روی این بازه چگونه است یعنی در واقع عبارت [math]|x-1|[/math] را باید تعیین علامت کنیم خوب می دانیم ریشه این عبارت :

[math] x – 1 = 0 \to x =   1 [/math]

 یعنی عبارت داخل قدر مطلق به ازای مقادیر کمتر از 1 منفی می شود و به ازای مقادیر بزرگتر از یک عبارت مثبت می شود . اما چون کلا تابع را داریم در بازه [math][0,2][/math] بررسی می کنیم پس می گوییم عبارت از صفر تا یک منفی است و در بازه از یک تا 2 مثبت است . یعنی تابع ما به صورت زیر خواهد بود :

[math] 0 \le x \le 1 \to  – 5{x^3} – x(x – 1) =  – 5{x^3} – {x^2} + x\\1 \le x \le 2 \to  – 5{x^3} + x(x – 1) =  – 5{x^3} + {x^2} – x\\f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ – 5{x^3} – {x^2} + x}&{0 \le x \le 1}\\{ – 5{x^3} + {x^2} – x}&{1 \le x \le 2}\end{array}} \right\} [/math]

اکنون مقادیر تابع را در ابتدا و انتهای بازه بدست می آوریم یعنی [math]f(0),f(2)[/math]

[math] 0 \le x \le 1 \to  – 5{x^3} – x(x – 1) =  – 5{x^3} – {x^2} + x\\f(0) = 0\\1 \le x \le 2 \to  – 5{x^3} + x(x – 1) =  – 5{x^3} + {x^2} – x\\f(2) =  – 5{(2)^3} + {(2)^2} – 2 =  – 38 [/math]

اکنون از تابع مشتق می گیریم و نقاط بحرانی آن را حساب می کنیم:

[math] f'(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ – 15{x^2} – 2x + 1}&{0 < x < 1}\\{ – 15{x^2} + 2x – 1}&{1 < x < 2}\end{array}} \right\} [/math]

مشتق در بازه صفر تا یک را براب صفر قرار دهیم دو ریشه خواهد داشت:

[math] – 15{x^2} – 2x + 1 = 0 \to \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{5}\\x =  – \frac{1}{3}\end{array} \right\} [/math]

دقت کنید که [math] x =  – \frac{1}{3} [/math] غیر قابل قبوله چون خارج از بازه تابع است.

معادله [math] – 15{x^2} + 2x – 1 = 0 [/math] ریشه ندارد پس :

[math] x = \frac{1}{5} \to f(\frac{1}{5}) = \frac{3}{{25}} [/math]

 اما ما حساب کردیم که [math]f(2)=-38[/math] است پس این نقطه [math](2,-38)[/math] مینیمم مطلق تابع است .

	نقطه بحرانی
[math]2[/math]	[math] \frac{1}{5} [/math]	[math]0[/math]	[math]x[/math]
[math]-38[/math]	[math] \frac{3}{{25}} [/math]	[math]0[/math]	[math]y=f(x)[/math]

 

مثال 3:اکسترمم های مطلق تابع [math] f(x) = \sqrt {x – 1}  + \sqrt {5 – x} [/math] را بدست آورید.

اینجا هیچ بازه ای به ما داده نشده است اما اگر دقت کنید ما اینجا باید دامنه تابع را حساب کنیم

[math] f(x) = \sqrt {x – 1}  + \sqrt {5 – x} \\\sqrt {x – 1}  \to x – 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1\\\sqrt {5 – x}  \to 5 – x \ge 0 \Rightarrow x \le 5 [/math]

پس اکنون با توجه به عبارت بالا دامنه تابع ما [math] 1 \le x \le 5 [/math] یعنی بازه بسته [math][1,5][/math] است پس اکنون مقدار تابع را در ابتدا و انتهای باز حساب می کنیم:

[math] f(1) = \sqrt {1 – 1}  + \sqrt {5 – 1}  = 2\\f(5) = \sqrt {5 – 1}  + \sqrt {5 – 5}  = 2 [/math]

اکنون از تابع مشتق می گیریم و نقاط بحرانی تابع را بدست می آوریم :

[math] f'(x) = \frac{1}{{2\sqrt {x – 1} }} + \frac{{ – 1}}{{2\sqrt {5 – x} }} = \frac{{\sqrt {5 – x}  – \sqrt {x – 1} }}{{2\sqrt {x – 1} \sqrt {5 – x} }}\\f'(x) = 0 \to \sqrt {5 – x}  – \sqrt {x – 1}  = 0\\\sqrt {5 – x}  = \sqrt {x – 1}  \to 5 – x = x – 1\\x = 3 [/math]

 

	نقطه بحرانی
[math]5[/math]	[math] 3 [/math]	[math]1[/math]	[math]x[/math]
[math]2[/math]	[math] 2\sqrt 2[/math]	[math]2[/math]	[math]y=f(x)[/math]

 

ماکزیمم مطلق  تابع [math] 2\sqrt 2 [/math] و مینیمم مطلق [math]2[/math]

نقطه بحرانی اینجا برابر همان ماکزیمم مطلق است.