حد توابع مثلثاتی
حد توابع مثلثاتی
ما در بخشهای قبلی در مورد توابع مثلثاتی و خصوصیات آنها توضیح مفصل داده ایم توصیه می کنم اگر فراموش کرده اید حتما لینکهای زیر را مطالعه کنید.
اما در اینجا فقط اشاره ای گذرا به تابع سینوس و کسینوس خواهیم کرد.
1-تابع سینوس :
تابع [math]y=Sinx[/math] را یک تابع مثلثاتی می گویند . دامنه این تابع مجموعه اعداد حقیقی و برد آن [math][-1,1][/math] می باشد.به این تابع موج سینوسی نیز گفته می شود.
خصوصیات نمودار تابع [math]y=Sinx[/math] |
1-دوره تناوب (تکرار) این تابع برابر [math] 2\pi [/math] |
2-دامنه این تابع برابر تمام اعداد حقیقی است. |
3-برد این تابع [math][-1,1][/math] می باشد. |
4-محور x ها را در نقاطی قطع می کند که ضریبی از [math] n\pi [/math] و n عددی طبیعی است. |
5-محور y ها را در نقطه صفر قطع می کند. |
6-مقدار ماکسیمم (حداکثر) آن برابر [math]y=1[/math] در نقاطی است که [math] x = \frac{\pi }{2} + 2\pi n [/math] و n عددی طبیعی است. |
7-مقدار مینیمم (حداقل) آن برابر [math]y=-1[/math] در نقاطی است که [math] x = \frac{3\pi }{2} + 2\pi n [/math] و n عددی طبیعی است. |
نمودار آن نیز به شکل زیر است :
2-تابع کسینوس :
تابع [math]y=Cosx[/math] را یک تابع مثلثاتی می گویند . دامنه این تابع مجموعه اعداد حقیقی و برد آن [math][-1,1][/math] می باشد.به این تابع موج کسینوسی نیز گفته می شود.
خصوصیات نمودار تابع [math]y=Cosx[/math] |
1-دوره تناوب (تکرار) این تابع برابر [math] 2\pi [/math] |
2-دامنه این تابع برابر تمام اعداد حقیقی است. |
3-برد این تابع [math][-1,1][/math] می باشد. |
4-محور x ها را در نقاطی قطع می کند که ضریبی از [math]\frac{\pi }{2} + \pi n [/math] و n عددی طبیعی است. نقاطی مانند [math]..,- \frac{{3\pi }}{2}, – \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2},\frac{{3\pi }}{2},\frac{{5\pi }}{2},..[/math] |
5-محور y ها را در نقطه 1 قطع می کند. |
6-مقدار ماکسیمم (حداکثر) آن برابر [math]y=1[/math] در نقاطی است که [math] x = n\pi [/math] و n عددی طبیعی و زوج است است. مانند :[math] x = …, – 2\pi ,0,2\pi ,4\pi ,6\pi ,… [/math] |
7-مقدار مینیمم (حداقل) آن برابر [math]y=-1[/math] در نقاطی است که [math] x = n\pi [/math] و n عددی طبیعی و فرد است. مانند [math] x = …, – \pi ,\pi ,3\pi ,5\pi ,… [/math] |
نمودار آن نیز به شکل زیر است :
اکنون می رویم سراغ اصل مطلب یعنی حد توابع مثلثاتی
قضیه 1:حد تابع [math]f(x)=sinx[/math] برای هر عدد حقیقی a به صورت زیر است :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to a} Sinx = Sina [/math]
قضیه 2:حد تابع [math]f(x)=Cosx[/math] برای هر عدد حقیقی a به صورت زیر است :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to a} Cosx = Cosa [/math]
قضیه 3: حد تابع [math]f(x)=tanx[/math] یا [math] f(x) = \frac{{Sinx}}{{Cosx}} [/math] برای همه مقادیر حقیقی a به جز مقادیر که [math] k\pi + \frac{\pi }{2} [/math] که برای آنها کسینوس در مخرج برابر صفر می شود دارای حد است :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \tan x = \tan a\\(a \ne k\pi + \frac{\pi }{2}) [/math]
قضیه 4: حد تابع [math]f(x)=Cotx[/math] یا [math] f(x) = \frac{{Cosx}}{{Sinx}} [/math] برای همه مقادیر حقیقی a به جز مقادیر که [math] k\pi [/math] که برای آنها سینوس در مخرج برابر صفر می شود دارای حد است :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to a} Cotx = Cota\\(a \ne k\pi ) [/math]
مثال :مقدار حدهای زیر را حساب کنید.
[math] 1)\mathop {\lim }\limits_{x \to – \pi } \frac{{\pi \cos x}}{x} = ?\\\\\frac{{\pi \mathop {\lim }\limits_{x \to – \pi } Cosx}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to – \pi } x}} = \frac{{\pi Cos( – \pi )}}{{ – \pi }} = \frac{{ – \pi }}{{ – \pi }} = 1 [/math]
[math] 2)\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{Sinx}}{{x + \cos x}} = ?\\\\\frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} Sinx}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} (x + \cos x)}} = \frac{{Sin0}}{{0 + \cos 0}} = \frac{0}{{0 + 1}} = 0\\ [/math]
[math] 3)\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos 3x – \cos x}}{{{x^2}}} = ? [/math]
می دانیم که رابطه زیر برقرار است پس از رابطه زیر برای محاسبه حد استفاده می کنیم
[math] \cos 3x – \cos x = – 2\sin \frac{{3x – x}}{2}\sin \frac{{3x + x}}{2} = – 2\sin x\sin 2x [/math]
پس خواهیم داشت که :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos 3x – \cos x}}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( { – 2\sin x\sin 2x} \right)}}{{{x^2}}} = \\ – 2\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x}\cdot\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 2x}}{x} = – 2\cdot1\cdot\mathop {\lim }\limits_{2x \to 0} \frac{{2\sin 2x}}{{2x}} = – 2\cdot2\mathop {\lim }\limits_{2x \to 0} \frac{{\sin 2x}}{{2x}} = – 4 [/math]
[math] 4)\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sin 2x}}{{\sqrt {2 – 2\cos 2x} }} = ? [/math]
از فرمولهای مثلثاتی می دانیم که [math] 1 – \cos 2a = 2Si{n^2}a [/math] پس داریم :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sin 2x}}{{\sqrt {2 – 2\cos 2x} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sin 2x}}{{\sqrt {4Si{n^2}x} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{2\sin x\cos x}}{{2|Sinx|}} [/math]
وقتی متغیر به سمت صفر مثبت میل می کند یعنی در ناحیه اول مثلثاتی قرار داریم پس قدر مطلق سینوس برابر مثبت سینوس خواهد بود لذا :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{2\sin x\cos x}}{{2|Sinx|}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{2\sin x\cos x}}{{2\sin x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \cos x = \cos 0 = 1 [/math]
[math]5)\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{{1 – \tan x}}{{\sin x – \cos x}} = ?\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{{1 – \frac{{\sin x}}{{\cos x}}}}{{\sin x – \cos x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{{\frac{{\cos x – \sin x}}{{\cos x}}}}{{\sin x – \cos x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{{\frac{{ – (\sin x – \cos x)}}{{\cos x}}}}{{\sin x -\cos x}}\\\\= \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{{ – 1}}{{\cos x}} = \frac{{ – 1}}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}} = – \sqrt 2[/math]