عطف منحنی
تعریف ریاضی نقطه عطف:نقطه [math]x=c[/math] را نقطه عطف تابع [math]f[/math] می گوییم هر گاه سه شرط زیر را داشته باشد :
الف)تابع [math]f[/math] در [math]x=c[/math] پیوسته باشد.
ب)تابع در [math]x=c[/math] دارای مماس باشد.
ج)جهت تفعر منحنی تابع [math]f[/math] در دو طرف [math]x=c[/math] تغییر کند.اینجا یعنی علامت [math] {f”} [/math] تغییر کند.
نمودار تابع در اطراف نقطه عطف به یکی از حالتهای زیر خواهد بود:
1)عطف مایل : در این حالت شیب خط مماس در نقطه عطف مثبت یا منفی است .
شیب خط مماس مثبت است [math] f'(c) > 0\\f”(c) = 0 [/math]
|
|
شیب خط مماس منفی است
[math] f'(c) < 0\\f”(c) = 0 [/math]
|
2-عطف افقی :در این حالت شیب خط مماس در نقطه عطف صفر است .
[math] f'(c) = 0\\f”(c) = 0\\ [/math]
|
3-عطف قائم : در این حالت [math] f'(c) = + \infty [/math] یا [math] f'(c) = – \infty [/math]
[math] f'(c) = \pm \infty [/math]
اما [math] f”(c) [/math] ناموجود |
نکته: وجود خط مماس با وجود مشتق اشتباه نگیرید چرا که ممکن است تابع در نقطه ای مشتق نداشته باشد اما مماس داشته باشد
پس مهمترین خصوصیات نقطه عطف را بصورت زیر و خلاصه بصورت زیر بیان می کنیم :
1- در این نقطه تابع پیوسته باشد.
2- در این نقطه مشتق دوم تغییر علامت می دهد
3- از قرار دادن معادله [math] f”(x) =0[/math]طول نقاط عطف را محاسبه می کنیم.
4- مختصات نقطه عطف باید در معادله تابع صدق کند.
به شکلهای زیر توجه کنید ،همانطور که می بینید منحنی در نقطه عطف تغییر جهت می دهد و علاوه بر آن جهت تقعر نیز تغییر می کند.
مثال 1: در تابع زیر نقاط عطف تابع را بدست آورید.
[math]y=5x^{3}+2x^{2}-3x[/math]
1-ابتدا مشتق تابع را محاسبه می کنیم .
[math]15x^{2}+4x-3[/math]
اما ما اینجا با مشتق دوم تابع نیاز داریم چرا که نقطه عطف از مشتق دوم بدست می آید پس داریم
[math] y” = 30x + 4 [/math]
اکنون ریشه های مشتق دوم را محاسبه می کنیم . ریشه آن برابر با
[math] 30x + 4 = 0\\30x = – 4\\x = – \frac{{30}}{4} = \frac{{15}}{2} [/math]
مثال 2:نقطه عطق تابع [math] y = {x^3} + 3x + \sin x [/math] را بدست آورید.
ابتدا باید مشتق دوم تابع را حساب کنیم :
[math] y = {x^3} + 3x + \sin x.\\y’ = 3{x^2} + 3 + \cos x\\y” = 6x – \sin x [/math]
ریشه مشتق دوم را حساب می کنیم :
همانطور که می بینیم تنها ریشه مشتق دوم ما نقطه x=0 است . علاوه بر این تابع در نقطه x=0 نیز تغییر علامت می دهد .
چرا که وقتی [math]x<0[/math] می شود مقدار عبارت مشتق دوم نیز کوچکتر از صفر می شود و اگر [math]x>0[/math] شود عبارت مثبت می شود . همچنین به شکل نمودار تابع دقت کنید ،همانطور که می بینید تابع در نقطه [math]x=0[/math] تغییر علامت میدهد پس این نقطه همان نقطه عطف تابع است.
مثال 3:نقطه عطف تابع [math] f(x) = |{x^2} – 2x| [/math] را بیابید.
ابتدا قدر مطلق را تفکیک کنیم :
[math] f(x) = |{x^2} – 2x| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} – 2x}&{\begin{array}{*{20}{c}}{x < 0}&{x > 2}\end{array}}\\{ – {x^2} + 2x}&{0 \le x \le 2}\end{array}} \right\} [/math]
مشتق تابع را حساب می کنیم:
[math] f'(x) = \left\{ \begin{array}{l}\begin{array}{*{20}{c}}{2x – 2}&{\begin{array}{*{20}{c}}{x < 0}&{x > 2}\end{array}}\end{array}\\\begin{array}{*{20}{c}}{not}&{x = 0,x = 2}\end{array}\\\begin{array}{*{20}{c}}{ – 2x + 2}&{0 < x < 2}\end{array}\end{array} \right\} [/math]
و اکنون مشتق دوم
[math] f”(x) = \left\{ \begin{array}{l}\begin{array}{*{20}{c}}2&{\begin{array}{*{20}{c}}{x < 0}&{x > 2}\end{array}}\end{array}\\\begin{array}{*{20}{c}}{not}&{x = 0,x = 2}\end{array}\\\begin{array}{*{20}{c}}{ – 2}&{0 < x < 2}\end{array}\end{array} \right\} [/math]
همانطور که می بینید معادله مشتق دوم [math] f”(x) =0 [/math] ریشه ندارد
با این که در نقاط [math]0,2[/math] منحنی تغییر جهت داد ،یعنی مشتق دوم تغییر علامت داد ولی چون در این نقاط مشتق وجود ندارد پس این نقاط ، نقاط عطف نیستند . نمودار این تابع به صورت زیر است :
نکته مهمی که از مثال قبل فهمیدیم اینکه : هر نقطه که جهت تقعر نمودار تابع در آن تغییر کند ،لزوما نقطه عطف نیست .بلکه ممکن است این نقطه از نقاط ناپیوستگی تابع یا از نقاط مشتق ناپذیری تابع باشند .
جهت حل مسایل ریاضی
عالی
دمت گرم