جهت تقعر منحنی
جهت تقعرمنحنی
به نمودارهای زیر دقت کنید:
توابع [math]f,g[/math] که نمودارهای آنها در شکل بالا نشان داده شده است .این دو نمودار هر دو صعودی هستند اما یک تفاوت اساسی بین دو نمودار وجود دارد و آن هم خط مماس بر نمودارها.
در نمودار [math]f[/math] که صعودی است ، خط مماس بر نمودار بالای نمودار است (خط نارنجی رنگ) و جهت تقعر نمودار رو به پایین است.
در نمودار [math]g[/math] که صعودی است ، خط مماس بر نمودار پایین نمودار است (خط نارنجی رنگ)و جهت تقعر نمودار رو به بالا است .
توابع [math]h,t[/math] که نمودارهای آنها در شکل بالا نشان داده شده است .این دو نمودار هر دو نزولیهستند اما یک تفاوت اساسی بین دو نمودار وجود دارد و آن هم خط مماس بر نمودارها.
در نمودار [math]h[/math] که نزولی است ، خط مماس بر نمودار بالای نمودار است (خط نارنجی رنگ) و جهت تقعر نمودار رو به پایین است.
در نمودار [math]t[/math] که نزولی است ، خط مماس بر نمودار پایین نمودار است (خط نارنجی رنگ)و جهت تقعر نمودار رو به بالا است .
جهت تقعر
با توجه به شکلهای بالا می توانیم نتیجه بگیریم که هر گاه خط مماس بر نمودار پایین نمودار باشد مثل نمودار [math]g,t[/math] تقعر منحنی رو به بالا خواهد بود .
همچنین با توجه به شکلهای بالا می توانیم نتیجه بگیریم که هر گاه خط مماس بر نمودار بالای نمودار باشد مثل نمودار [math]f,h[/math] تقعر منحنی رو به پایین خواهد بود .
در منحنی قسمت (الف) خطوط مماس زیر منحنی قرار دارند ،وقتی روی منحنی از چپ به راست حرکت می کنیم ،خطوط مماس به گونه ای دوران می کنند که شیب آنها صعودی و افزایشی می شود .در منحنی قسمت (ب) خطوط مماس بالای منحنی قرار دارند و وقتی روی منحنی از چپ به راست حرکت می کنیم خطوط مماس به گونه دوران می کنند که شیب آنها کاهش و نزولی می شود.
چون [math] {f’} [/math] شیب زاویه خط مماس بر نمودار [math]f[/math] است ،لذا تعریف زیر را خواهیم داشت :
تعریف :فرض کنید [math]f[/math] در بازه [math](a,b)[/math] مشتق پذیر است .
الف) اگر [math] {f’} [/math] روی بازه [math](a,b)[/math] اکیدا صعودی باشد،جهت تقعر نمودار تابع [math]f[/math] روی این بازه رو به بالاست.
ب) اگر [math] {f’} [/math] روی بازه [math](a,b)[/math] اکیدا نزولی باشد،جهت تقعر نمودار تابع [math]f[/math] روی این بازه رو به پایین است.
نکته مهم :در این تعریف ضروری است که [math]f[/math] در [math](a,b)[/math] مشتق پذیر باشد .
با تعیین علامت مشتق دوم تابع می توانیم بازه های تقعر منحنی و نقاط عطف منحنی را بدست آوریم .
1-اگر مشتق دوم تابع f یعنی [math] f”(x) > 0 [/math] یعنی تابع اکیدا صعودی است و تقعر تابع به سمت بالا است .و مماس بر منحنی در پایین نمودار است و شیب آن افزایش می یابد.
2-اگر مشتق دوم تابع f یعنی [math] f”(x) < 0 [/math] یعنی تابع اکیدا نزولی است و تقعر تابع به سمت پایین است .و مماس بر منحنی در بالای نمودار است و شیب آن کاهش می یابد.
مثال1:جهت تقعر منحنی [math] f(x) = {x^2} [/math] را بررسی کنید.
خوب همانطور که گفتیم باید مشتق دوم تابع را بدست آوریم :
[math] f(x) = {x^2} \to f'(x) = 2x\\f” = 2 > 0 [/math]
خوب مشتق دوم این تابع عدد 2 است که بزرگتر از صفر است یعنی جهت تقعر تابع رو به بالا است .
نمودار [math] f(x) = {x^2} [/math] به شکل بالا است همانطور که می بینید جهت تقعر آن رو به بالا است.
مثال2:جهت تقعر [math] f(x) = \sqrt x [/math] را بررسی کنید.
[math] f(x) = \sqrt x \to f'(x) = \frac{1}{2}{x^{ – \frac{1}{2}}}\\f”(x) = – \frac{1}{4}{x^{ – \frac{3}{2}}} = – \frac{1}{{4\sqrt {{x^3}} }} [/math]
همانطور که می بینید مشتق دوم رادیکالی با فرجه زوج است مشخص است که دامنه تعریف مشتق دوم به ازای x های بزرگتر از صفر است یعنی خود صفر هم نمی تواند در دامنه قرار بگیرد چون خارج از دامنه مشتق دوم است .
[math] {D_{f”}} = \{ x > 0\} [/math]
پس با توجه به اینکه به ازای هر x بزرگتر از صفر که قرار می دهیم چون حاصل تابع ما باید در ضریب منفی ضرب شود یعنی در واقع مشتق دوم ما همواره منفی خواهد بود پس تقعر این منحنی رو به پایین خواهد بود .شکل این نمودار به صورت زیر است :
مثال 3:جهت تقعر منحنی تابع [math] f(x) = \frac{6}{{{x^2} + 3}} [/math] را بررسی کنید.
ابتدا مشتق و سپس مشتق دوم تابع را بدست می آوریم :
[math] f(x) = \frac{6}{{{x^2} + 3}} \to f'(x) = \frac{{12x}}{{{{({x^2} + 3)}^2}}}\\f”(x) = \frac{{{{({x^2} + 3)}^2}( – 12) – ( – 12x)(2)({x^2} + 3)(2x)}}{{{{({x^2} + 3)}^4}}}\\= \frac{{ – 12({x^2} + 3) + 48{x^2}}}{{{{({x^2} + 3)}^3}}}\\ = \frac{{36({x^2} – 1)}}{{{{({x^2} + 3)}^3}}} [/math]
باید مشتق دوم را تعیین علامت کنیم خوب ابتدا ریشه های صورت را حساب می کنیم ریشه های صورت [math] x = \pm 1 [/math]
[math]1[/math] | [math]-1[/math] | [math]x[/math] | |||
[math]+[/math] | [math]0[/math] | [math]-[/math] | [math]0[/math] | [math]+[/math] | [math]y[/math] |
رو به بالا | رو به پایین | رو به بالا | جهت تقعر |
نمودار تابع به شکل زیر است :
مثال4 :جهت تقعر تابع [math] f(x) = 2{\sin ^2}(x) – {x^2} [/math] را در بازه [math] [\pi ,0] [/math] بدست آورید ؟
ابتدا از تابع مشتق می گیریم .
[math] f'(x) = 4\sin x\cos x – 2x = 2\sin x – 2x [/math]
و سپس مشتق دوم را بدست می آوریم
[math] f”(x) = 4\cos 2x – 2 [/math]
اکنون ریشه های مشتق دوم را محاسبه می کنیم یعنی معادله فوق را برابر صفر قرار می دهیم .
در بازه بسته[math] [\pi ,0] [/math] جوابهای معادله مشتق دوم برابر است با :
جواب ما برابر با [math] \frac{\pi }{6},\frac{{5\pi }}{6} [/math]
دمت گرم تازه فهمیدم تقعر چیه !!!!!