مثلثات بخش 1-1-کاربرد مثلثات در محاسبه فاصله و ارتفاع
در بخش قبل ما مفهوم نسبتهای مثلثاتی سینوس ،کسینوس و تانژانت و کتانژانت را مرور کردیم ،و گفتیم که در یک مثلث قائم الزاویه نسبتهای ،سینوس،کسینوس،تانژانت و کتانژانت را نسبت های مثلثاتی می گوییم. اکنون در این مطلب چند مثالی را با هم حل می کنیم تا کاربرد این نسبتهای را بهتر متوجه شویم .
مساله1: یک موشک در ارتفاع 15 متری از سطح زمین و با زاویه 30 درجه پرتاب می شود .می خواهیم بدانیم پس از طی 2000 متر با همین زاویه ،موشک به چه ارتفاعی از سطح زمین می رسد ؟
ابتدا باید این مساله را به زبان ریاضی بیان کنیم ، شکل بالا را ببینید به سادگی می توانیم آن را بصورت یک شکل ریاضی دربیاریم.
در شکل بالا ارتفاع مثلث از سطح زمین نشان داده شده است که برابر 15 متر است .مساله گفته موشک با زاویه 30 درجه پرتاب شده پس باید یک مثلث قائم الزاویه داشته باشیم که یک زاویه آن 30 درجه است از طرف دیگر ما بعد از 2000 متر میخواهیم ارتفاع را بدست آوریم ، خوب یعنی وتر این مثلث که در واقع نشان دهنده مسیر پرواز موشک است برابر 2000 متر است .حالا باید ضلع قائم مثلث که نشان دهنده ارتفاع موشک را بدست آوریم و طبق شکل بالا اونها را نامگذاری کرده ایم .
[math] BC + MC = BC + 15 [/math]
بنابر این کافی است که ما طول BC را پیدا کنیم . از طرف دیگر می دانیم که :
[math] Sin30 = \frac{1}{2}[/math]
و همچنین در هر مثلث قائم الزاویه سینوس برابر ضلع مقابل تقسیم بر وتر ، پس داریم که :
[math] Sin30 = \frac{1}{2} = \frac{{BC}}{{AB}} \Rightarrow BC = \frac{{AB}}{2} = \frac{{2000}}{2} = 1000[/math]
پس ارتفاع موشک بصورت زیر خواهد بود :
ارتفاع موشک=15+1000=1015
که اینجا 15 همان ارتفاع اولیه لحظه بر تاب موشک هست که در نهایت ارتفاع موشک می شود عدد 1015 .
2-در راه پیمایی 22 بهمن ،یک بالن اطلاع رسانی توسط دو طناب به زمین بسته شده است .طول یکی از طناب ها 30 متر است.می خواهیم طول طناب دوم را پیدا کنیم.
الف)اندازه زاویه B را بدست آورید.سپس ارتفاع وارد بر ضلع BC را رسم کنید و آن را BH بنامید.
ب)طول BH را با استفاده از سینوس زاویه A بدست آورید.
ج)اکنون با استفاده از سینوس زاویه 65 درجه ، طول طناب دوم را پیدا کنید .
یکی یکی حل می کنیم ، ابتدا بخش الف را بررسی می کنیم ، می خواهیم زاویه B را حساب کنیم ، با توجه به معلوم بودن دو زاویه دیگر و همچنین مجموع زاوایای مثلث برابر 180 درجه می باشد پس خواهیم داشت :
[math] \hat B = 180 – (60 + 65) = 55[/math]
حالا گفته ارتفاع BH را رسم کنید . یعنی شکل ما بصورت زیر خواهد بود :
ارتفاع BH را رسم کردیم حالا باید طول آن را حساب کنیم .طول این ارتفاع را با توجه به زاویه A حساب می کنیم .اولا می دانیم که مثلث ABH یک مثلث قائم الزاویه هست و در این مثلث AB وتر و H زاویه قائمه است .پس با استفاده از نسبتهای مثلثاتی می توانیم طول ضله BH را حساب کنیم .یادتون باشه که سینوس زاویه A برابر ضلع مقابل تقسیم بر وتر پس :
[math] SinA = \frac{{BH}}{{AB}} \Rightarrow BH = AB \times SinA = 30 \times Sin60 = 30 \times \frac{{\sqrt 3 }}{2} = 15\sqrt 3[/math]
خوب طول ارتفاع BH هم حساب کردیم ، حالا آخرین بخش مسال یعنی قسمت ج که می خواهیم با استفاده از سینوس 65 درجه طول طناب دوم را حساب کنیم ، ببینید با استفاده از ماشین حساب سینوس 65 درجه را حساب می کنیم یک عدد تقریبی برابر
[math] 0.9[/math]
بدست می آید از طرف دیگر مثلث BHC هم قائم الزاویه است که طول ارتفاع یا همان ضلع قائم آن BH معلوم است .پس :
[math]SinC = \frac{{BH}}{{BC}} \Rightarrow BC = \frac{{BH}}{{SinC}} = \frac{{15\sqrt 3 }}{{Sin65}} = \frac{{15\sqrt 3 }}{{0.9}} = 28.86[/math]
3-یک هواپیما در ارتفاع 2 کیلومتری از سطع زمین در حال فرد آمدن است .اگر زاویه هواپیما با افق 13 درجه باشد .هواپیما در چه فاصله ای از نقطه A فرود می آید .
اگر بخواهیم به زبان ریاضی بیان کنیم می توانیم شکل زیر را هم مترادف با شکل بالا مجسم کنیم . زاویه حرکت هواپیما با افق موازی است .لذا
شکل بالا مقایسه کنید در واقع ما دو خط موازی داریم که که یک خط دیگر آنها را قطع کرده پس ببینید که زاویه فرود هم 13 درجه خواهد بود .
(( هر گاه دو خط موازی داشته باشیم و یك خط بیاید و ان دو را قطع كند ان خط مورب نام دارد . خط مورب باعث می شود تا 8 زاویه به وجود بیاید و این هر كدام از این زاویه با توجه به نوعشان در سمت مقابل با هم برابراند .))
حالا با استفاده از ماشین حساب می دانیم که تانژانت 13 درجه :
[math] \tan 13 = 0.23[/math]
مسیر پرواز را اکنون با استفاده از مثلث قائم الزاویه زیر می توان بدست اورد .
تانژانت برابر ضلع روبرو تقسیم بر ضلع مجاور پس :
[math]\tan 13 = \frac{{AC}}{{AB}} \Rightarrow 0.23 = \frac{2}{{AB}} \Rightarrow AB = \frac{2}{{0.23}} \Rightarrow AB = 7.8[/math]
